Решите систему уравнений { y+2x=1 {x^2+xy+y^2=7

Рассмотрим данную систему уравнений:

[ \begin{cases} y + 2x = 1, \ x^2 + xy + y^2 = 7. \end{cases} ]

Решим эту систему пошагово.

Шаг 1: Выразим ( y ) из первого уравнения.

Из первого уравнения ( y + 2x = 1 ) выразим ( y ) через ( x ):

[ y = 1 - 2x. ]

Шаг 2: Подставим выражение для ( y ) во второе уравнение.

Теперь подставим ( y = 1 - 2x ) во второе уравнение ( x^2 + xy + y^2 = 7 ):

[ x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7. ]

Раскроем скобки и упростим:

1. Раскроем ( x(1 - 2x) ): [ x \cdot (1 - 2x) = x - 2x^2. ]

2. Раскроем ( (1 - 2x)^2 ): [ (1 - 2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2. ]

Подставим всё это обратно в уравнение:

[ x^2 + (x - 2x^2) + (1 - 4x + 4x^2) = 7. ]

Теперь сложим все одночлены:

[ x^2 - 2x^2 + 4x^2 + x - 4x + 1 = 7. ]

[ (1 + 4x^2 - x^2 - 2x^2) + (x - 4x) + 1 = 7. ]

[ 3x^2 - 3x + 1 = 7. ]

Шаг 3: Перепишем уравнение.

Приведём уравнение к стандартному виду:

[ 3x^2 - 3x + 1 - 7 = 0, ]

[ 3x^2 - 3x - 6 = 0. ]

Упростим:

[ x^2 - x - 2 = 0. ]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Решим уравнение ( x^2 - x - 2 = 0 ) с помощью дискриминанта. Для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) дискриминант равен:

[ D = b^2 - 4ac. ]

Здесь ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -2 ). Подставим:

[ D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9. ]

Так как ( D > 0 ), уравнение имеет два корня:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставим значения ( a ), ( b ), ( D ):

[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 \pm 3}{2}. ]

Найдём корни:

[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1. ]

Шаг 5: Найдём ( y ) для каждого ( x ).

Теперь подставим найденные значения ( x ) в выражение ( y = 1 - 2x ), чтобы найти соответствующие значения ( y ).

1. Для ( x = 2 ):

[ y = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3. ]

1. Для ( x = -1 ):

[ y = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3. ]

Шаг 6: Запишем решения.

Решениями системы являются две пары ( (x, y) ):

[ (2, -3) \quad \text{и} \quad (-1, 3). ]

Проверка.

Подставим каждую пару в исходную систему.

1. Для ( (2, -3) ):

[ y + 2x = -3 + 2(2) = -3 + 4 = 1 \quad \text{(выполняется)}. ] [ x^2 + xy + y^2 = 2^2 + 2(-3) + (-3)^2 = 4 - 6 + 9 = 7 \quad \text{(выполняется)}. ]

1. Для ( (-1, 3) ):

[ y + 2x = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1 \quad \text{(выполняется)}. ] [ x^2 + xy + y^2 = (-1)^2 + (-1)(3) + 3^2 = 1 - 3 + 9 = 7 \quad \text{(выполняется)}. ]

Обе пары удовлетворяют системе.

Ответ:

[ (2, -3) \quad \text{и} \quad (-1, 3). ]

Для решения системы уравнений

[ \begin{cases} y + 2x = 1 \ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases} ]

начнем с первого уравнения. Из него выразим ( y ):

[ y = 1 - 2x ]

Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:

[ x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7 ]

Раскроем скобки:

1. ( x(1 - 2x) = x - 2x^2 )
2. ( (1 - 2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2 )

Теперь подставим эти выражения во второе уравнение:

[ x^2 + (x - 2x^2) + (1 - 4x + 4x^2) = 7 ]

Соберем все члены:

[ x^2 - 2x^2 + 4x^2 + x - 4x + 1 = 7 ]

Упростим:

[ (1 - 2 + 4)x^2 + (1 - 4)x + 1 = 7 ]

Это дает:

[ 3x^2 - 3x + 1 = 7 ]

Переносим 7 влево:

[ 3x^2 - 3x + 1 - 7 = 0 ]

Упрощаем:

[ 3x^2 - 3x - 6 = 0 ]

Разделим все на 3:

[ x^2 - x - 2 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 1, b = -1, c = -2 ). Подставляем значения:

[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} ]

Находим два возможных значения для ( x ):

1. ( x_1 = \frac{4}{2} = 2 )
2. ( x_2 = \frac{-2}{2} = -1 )

Теперь подставим найденные значения ( x ) в уравнение ( y = 1 - 2x ) для нахождения соответствующих ( y ).

1. Для ( x = 2 ):

[ y = 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3 ]

Получаем первую пару решений: ( (x_1, y_1) = (2, -3) ).

1. Для ( x = -1 ):

[ y = 1 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3 ]

Получаем вторую пару решений: ( (x_2, y_2) = (-1, 3) ).

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

[ (2, -3) \quad \text{и} \quad (-1, 3) ]

Для решения системы уравнений:

1. ( y + 2x = 1 )
2. ( x^2 + xy + y^2 = 7 )

Первое уравнение можно выразить в виде:

( y = 1 - 2x )

Теперь подставим ( y ) во второе уравнение:

( x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7 )

Раскроем скобки:

( x^2 + x - 2x^2 + (1 - 4x + 4x^2) = 7 )

Соберем все члены:

( 3x^2 - 3x + 1 - 7 = 0 )

Упростим:

( 3x^2 - 3x - 6 = 0 )

Разделим на 3:

( x^2 - x - 2 = 0 )

Теперь решим это квадратное уравнение:

( (x - 2)(x + 1) = 0 )

Таким образом, ( x = 2 ) или ( x = -1 ).

Теперь найдем соответствующие значения ( y ):

1. Если ( x = 2 ): ( y = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 )

2. Если ( x = -1 ): ( y = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 )

Ответ:

( (x, y) = (2, -3) ) и ( (x, y) = (-1, 3) )