Решите систему уравнений {x^2-3y=9 {x-y=3

Для решения системы уравнений: [ \begin{cases} x^2 - 3y = 9 \ x - y = 3 \end{cases} ]

следует использовать метод подстановки или метод алгебраического сложения. В данном случае метод подстановки будет удобнее.

1. Выразим ( y ) через ( x ) из второго уравнения:

[ x - y = 3 ] [ y = x - 3 ]

1. Подставим это выражение для ( y ) в первое уравнение:

[ x^2 - 3(x - 3) = 9 ]

1. Раскроем скобки и упростим уравнение:

[ x^2 - 3x + 9 = 9 ]

1. Вычтем 9 из обеих частей уравнения:

[ x^2 - 3x + 9 - 9 = 0 ] [ x^2 - 3x = 0 ]

1. Решим получившееся квадратное уравнение:

[ x(x - 3) = 0 ]

Это уравнение имеет два корня:

[ x = 0 ] [ x = 3 ]

1. Найдем соответствующие значения ( y ) для каждого значения ( x ):

• Для ( x = 0 ):

[ y = 0 - 3 = -3 ]

• Для ( x = 3 ):

[ y = 3 - 3 = 0 ]

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

[ (x, y) = (0, -3) ] [ (x, y) = (3, 0) ]

1. Проверим полученные решения, подставляя их в исходную систему уравнений:

• Для ( (0, -3) ):

  Подставляем в первое уравнение: [ x^2 - 3y = 0^2 - 3(-3) = 0 + 9 = 9 ] (выполняется)

  Подставляем во второе уравнение: [ x - y = 0 - (-3) = 3 ] (выполняется)

• Для ( (3, 0) ):

  Подставляем в первое уравнение: [ x^2 - 3y = 3^2 - 3(0) = 9 - 0 = 9 ] (выполняется)

  Подставляем во второе уравнение: [ x - y = 3 - 0 = 3 ] (выполняется)

Оба решения удовлетворяют системе уравнений, следовательно, они являются правильными.

Итак, решения системы уравнений: [ (x, y) = (0, -3) ] [ (x, y) = (3, 0) ]

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.

Сначала из второго уравнения выразим одну из переменных, например, x = y + 3. Подставим это выражение в первое уравнение: (y + 3)^2 - 3y = 9. Раскроем скобки: y^2 + 6y + 9 - 3y = 9. Преобразуем уравнение: y^2 + 3y = 0. Получаем, что y(y + 3) = 0, откуда y = 0 или y = -3.

Подставим найденные значения y обратно в уравнение x = y + 3 и найдем соответствующие значения x: при y = 0, x = 0 + 3 = 3, и при y = -3, x = -3 + 3 = 0.

Таким образом, получаем два решения системы уравнений: (x, y) = (3, 0) и (x, y) = (0, -3).