Решите систему уравнений: x-y=6 x^2+y^2=20

Для решения данной системы уравнений:

1. ( x - y = 6 )
2. ( x^2 + y^2 = 20 )

следует использовать метод подстановки или метод алгебраических преобразований. Рассмотрим оба метода.

Метод подстановки

1. Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим ( x ) через ( y ):

   [ x = y + 6 ]

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

   [ (y + 6)^2 + y^2 = 20 ]

3. Раскроем скобки и упростим уравнение:

   [ (y^2 + 12y + 36) + y^2 = 20 ] [ 2y^2 + 12y + 36 = 20 ]

4. Перенесем все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

   [ 2y^2 + 12y + 36 - 20 = 0 ] [ 2y^2 + 12y + 16 = 0 ]

5. Упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2:

   [ y^2 + 6y + 8 = 0 ]

6. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем его корни с использованием дискриминанта ( D ):

   [ D = b^2 - 4ac ] [ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 ] [ D = 36 - 32 ] [ D = 4 ]

7. Найдем корни уравнения:

   [ y{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ y{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} ] [ y_{1,2} = \frac{-6 \pm 2}{2} ]

   [ y_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2 ] [ y_2 = \frac{-6 - 2}{2} = -4 ]

8. Теперь подставим найденные значения ( y ) в выражение для ( x ):

   [ x = y + 6 ]

   Для ( y = -2 ):

   [ x = -2 + 6 = 4 ]

   Для ( y = -4 ):

   [ x = -4 + 6 = 2 ]

9. Запишем найденные пары решений:

   [ (x, y) = (4, -2) ] [ (x, y) = (2, -4) ]

Метод алгебраических преобразований

1. Из первого уравнения выразим ( x ) через ( y ):

   [ x = y + 6 ]

2. Подставим это выражение во второе уравнение и упростим его:

   [ (y + 6)^2 + y^2 = 20 ] [ y^2 + 12y + 36 + y^2 = 20 ] [ 2y^2 + 12y + 36 = 20 ] [ 2y^2 + 12y + 16 = 0 ]

3. Упростим уравнение:

   [ y^2 + 6y + 8 = 0 ]

4. Решим квадратное уравнение:

   [ D = 36 - 32 = 4 ] [ y_1 = -2 ] [ y_2 = -4 ]

5. Найдем ( x ) для каждого значения ( y ):

   Для ( y = -2 ):

   [ x = -2 + 6 = 4 ]

   Для ( y = -4 ):

   [ x = -4 + 6 = 2 ]

6. Таким образом, пары решений:

   [ (x, y) = (4, -2) ] [ (x, y) = (2, -4) ]

Таким образом, система уравнений имеет два решения: ( (4, -2) ) и ( (2, -4) ).

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

1. Метод подстановки: Из первого уравнения выразим x через y: x = y + 6. Подставим это выражение во второе уравнение: (y + 6)^2 + y^2 = 20 y^2 + 12y + 36 + y^2 = 20 2y^2 + 12y + 36 = 20 2y^2 + 12y + 16 = 0 y^2 + 6y + 8 = 0

Решим полученное квадратное уравнение: D = 6^2 - 418 = 36 - 32 = 4 y1 = (-6 + √4)/2 = -2 y2 = (-6 - √4)/2 = -4

Теперь найдем соответствующие значения x: x1 = -2 + 6 = 4 x2 = -4 + 6 = 2

Итак, система уравнений имеет два решения: (4, -2) и (2, -4).

1. Метод исключения переменных: Возведем первое уравнение в квадрат и выразим x^2 через y и y^2: (x - y)^2 = 6^2 x^2 - 2xy + y^2 = 36 x^2 = 36 + 2xy

Подставим это выражение во второе уравнение: 36 + 2xy + y^2 + y^2 = 20 2y^2 + 2xy + 36 = 20 2xy = -16 - 2y^2 xy = -8 - y^2

Теперь подставим это в первое уравнение: x - (-8 - y^2) = 6 x + 8 + y^2 = 6 x = -2 - y^2

Таким образом, мы получили выражение для x через y. Подставляем его в первое уравнение и решаем квадратное уравнение, как в первом методе.

В результате, мы получаем те же самые решения: (4, -2) и (2, -4).