Решите систему уравнений х+у=2 2х2+ху+у2=8

Для решения данной системы уравнений мы можем воспользоваться методом подстановки. Сначала выразим одну из переменных из первого уравнения и подставим ее во второе уравнение:

Из первого уравнения: у = 2 - х

Подставляем во второе уравнение: 2х^2 + x(2 - x) + (2 - x)^2 = 8 Упрощаем уравнение: 2x^2 + 2x - x^2 + 4 - 4x + x^2 = 8 x^2 - 2x - 4 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

D = (-2)^2 - 41(-4) = 4 + 16 = 20 x1,2 = (2 ± √20) / 2 x1 = (2 + 2√5) / 2 = 1 + √5 x2 = (2 - 2√5) / 2 = 1 - √5

Теперь найдем значения у, подставив найденные значения x в первое уравнение:

При x = 1 + √5: у = 2 - (1 + √5) = 1 - √5 При x = 1 - √5: у = 2 - (1 - √5) = 1 + √5

Итак, решение системы уравнений: x = 1 + √5, у = 1 - √5 или x = 1 - √5, у = 1 + √5.

Чтобы решить данную систему уравнений, начнем с анализа каждого уравнения:

1. ( x + y = 2 )

2. ( 2x^2 + xy + y^2 = 8 )

Мы можем выразить ( y ) из первого уравнения:

[ y = 2 - x ]

Теперь подставим ( y = 2 - x ) во второе уравнение:

[ 2x^2 + x(2 - x) + (2 - x)^2 = 8 ]

Раскроем скобки и упростим выражение:

1. Найдем ( x(2 - x) ):

[ x(2 - x) = 2x - x^2 ]

1. Найдем ( (2 - x)^2 ):

[ (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2 ]

Теперь подставим эти выражения во второе уравнение:

[ 2x^2 + (2x - x^2) + (4 - 4x + x^2) = 8 ]

Упростим:

[ 2x^2 + 2x - x^2 + 4 - 4x + x^2 = 8 ]

Сложим подобные члены:

[ 2x^2 - x^2 + x^2 + 2x - 4x + 4 = 8 ]

[ 2x - 2x + 4 = 8 ]

Получаем:

[ 4 = 8 ]

Очевидно, что это неверно, значит, нужно искать другое решение.

Перепроверим упрощения:

[ 2x^2 + 2x - x^2 + 4 - 4x + x^2 = 8 ]

[ 2x^2 + 2x - x^2 + 4 - 4x + x^2 = 8 ]

Сложим:

[ 2x^2 - x^2 + x^2 + 2x - 4x + 4 = 8 ]

Получится:

[ 2x^2 - 2x + 4 = 8 ]

Вычтем 8 из обеих сторон:

[ 2x^2 - 2x + 4 - 8 = 0 ]

[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 ]

Разделим на 2:

[ x^2 - x - 2 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант (D) равен:

[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]

Корни:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} ]

[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 ]

[ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 ]

Теперь найдем соответствующие значения ( y ):

Для ( x = 2 ):

[ y = 2 - 2 = 0 ]

Для ( x = -1 ):

[ y = 2 - (-1) = 3 ]

Таким образом, система имеет два решения:

1. ( (x, y) = (2, 0) )

2. ( (x, y) = (-1, 3) )

x=1, y=1