Решите систему уравнений 6x-y=2; -x+y=-1

Для решения системы уравнений:

[ \begin{cases} 6x - y = 2 \ -x + y = -1 \end{cases} ]

можно использовать несколько методов: подстановки, сложения или метод Крамера. Рассмотрим метод сложения (или метод исключения).

1. Метод сложения (метод исключения):

   Цель состоит в том, чтобы сложить или вычесть уравнения таким образом, чтобы исключить одну из переменных. Рассмотрим систему:

   [ \begin{cases} 6x - y = 2 \quad \text{(1)} \ -x + y = -1 \quad \text{(2)} \end{cases} ]

   Если сложить уравнения (1) и (2), то переменная ( y ) исчезнет:

   [ (6x - y) + (-x + y) = 2 + (-1) ]

   Упростим:

   [ 6x - y - x + y = 1 ]

   [ 5x = 1 ]

   Решим это уравнение для ( x ):

   [ x = \frac{1}{5} ]

2. Теперь, когда мы нашли значение ( x ), подставим его в одно из исходных уравнений, чтобы найти ( y ). Подставим ( x = \frac{1}{5} ) в уравнение (2):

   [ -\left(\frac{1}{5}\right) + y = -1 ]

   Упростим это уравнение:

   [ -\frac{1}{5} + y = -1 ]

   Добавим (\frac{1}{5}) к обеим частям уравнения:

   [ y = -1 + \frac{1}{5} ]

   Преобразуем правую часть уравнения к общему знаменателю:

   [ y = -\frac{5}{5} + \frac{1}{5} ]

   [ y = -\frac{4}{5} ]

Таким образом, решение системы уравнений:

[ \begin{cases} 6x - y = 2 \ -x + y = -1 \end{cases} ]

является ( x = \frac{1}{5} ) и ( y = -\frac{4}{5} ).

Можно записать решение в виде пары:

[ \left( x, y \right) = \left( \frac{1}{5}, -\frac{4}{5} \right) ]

1. Проверка:

   Чтобы убедиться, что полученные значения ( x ) и ( y ) являются решением системы, подставим их обратно в оба исходных уравнения:

   Для первого уравнения: [ 6 \left(\frac{1}{5}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right) = 2 ]

   Упростим: [ \frac{6}{5} + \frac{4}{5} = 2 ]

   [ \frac{10}{5} = 2 ]

   [ 2 = 2 \quad \text{(истинно)} ]

   Для второго уравнения: [ -\left(\frac{1}{5}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right) = -1 ]

   Упростим: [ -\frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -1 ]

   [ -\frac{5}{5} = -1 ]

   [ -1 = -1 \quad \text{(истинно)} ]

Обе проверки подтвердили, что найденное решение ( \left( \frac{1}{5}, -\frac{4}{5} \right) ) действительно является правильным.

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом сложения или методом подстановки.

Метод сложения: Умножим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от y: 6(-x + y) = 6(-1) -6x + 6y = -6

Теперь сложим оба уравнения: 6x - y + (-6x + 6y) = 2 + (-6) 5y = -4 y = -4/5

Подставим найденное значение y в одно из уравнений и найдем x: 6x - (-4/5) = 2 6x + 4/5 = 2 6x = 2 - 4/5 6x = 10/5 - 4/5 6x = 6/5 x = 6/5 * 1/6 x = 1/5

Итак, решение системы уравнений: x = 1/5, y = -4/5.