Решите систему уравнений: {2х+у (в квадрате)=4 {х-у=2

Для решения системы уравнений: [ \begin{cases} 2x + y^2 = 4 \ x - y = 2 \end{cases} ] следует использовать метод подстановки или метод алгебраического сложения. Мы начнем с метода подстановки.

1. Выразим (x) через (y) из второго уравнения: [ x - y = 2 \implies x = y + 2 ]

2. Подставим выражение для (x) из второго уравнения в первое уравнение: [ 2(y + 2) + y^2 = 4 ]

3. Раскроем скобки и упростим уравнение: [ 2y + 4 + y^2 = 4 ]

4. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: [ y^2 + 2y + 4 - 4 = 0 \implies y^2 + 2y = 0 ]

5. Вынесем общий множитель (y) за скобки: [ y(y + 2) = 0 ]

6. Решим получившееся уравнение: [ y = 0 \quad \text{или} \quad y = -2 ]

Теперь, когда мы нашли значения (y), подставим их в выражение для (x), полученное из второго уравнения (x = y + 2).

1. Если (y = 0): [ x = 0 + 2 = 2 ] Получаем пару ((x, y) = (2, 0)).

2. Если (y = -2): [ x = -2 + 2 = 0 ] Получаем пару ((x, y) = (0, -2)).

Таким образом, система уравнений имеет два решения: [ (2, 0) \quad \text{и} \quad (0, -2) ]

Проверим каждое из найденных решений в исходной системе уравнений, чтобы убедиться в их правильности.

Для ((2, 0)):

1. (2x + y^2 = 4) при (x = 2) и (y = 0): [ 2 \cdot 2 + 0^2 = 4 \implies 4 = 4 \quad \text{(верно)} ]
2. (x - y = 2) при (x = 2) и (y = 0): [ 2 - 0 = 2 \quad \text{(верно)} ]

Для ((0, -2)):

1. (2x + y^2 = 4) при (x = 0) и (y = -2): [ 2 \cdot 0 + (-2)^2 = 4 \implies 4 = 4 \quad \text{(верно)} ]
2. (x - y = 2) при (x = 0) и (y = -2): [ 0 - (-2) = 2 \implies 2 = 2 \quad \text{(верно)} ]

Обе найденные пары удовлетворяют системе уравнений, следовательно, решения верны.

x = 1, y = -1

Для решения данной системы уравнений сначала подставим второе уравнение в первое: 2(2 + y)^2 + 2 = 4 4(4 + 4y + y^2) + 2 = 4 16 + 16y + 4y^2 + 2 = 4 4y^2 + 16y + 18 = 0

Теперь решим уравнение 4y^2 + 16y + 18 = 0 с помощью дискриминанта: D = 16^2 - 4418 = 256 - 288 = -32

Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней. Следовательно, данная система уравнений не имеет решений.