Решите систему уравнений 1) (х+6у)^2=7у 2) (х+6у)^2=7х

Давайте рассмотрим систему уравнений:

1. ((x + 6y)^2 = 7y)
2. ((x + 6y)^2 = 7x)

Первым шагом заметим, что левая часть уравнений в обоих случаях одинакова. Это позволяет нам приравнять правые части уравнений, что значительно упростит решение:

[7y = 7x]

Разделим обе части этого уравнения на 7:

[y = x]

Итак, мы получили первое важное условие: (y = x). Подставим это условие в любое из исходных уравнений системы. Например, подставим его в первое уравнение:

[(x + 6y)^2 = 7y]

С учетом (y = x) получаем:

[(x + 6x)^2 = 7x]

Упростим выражение в скобках:

[(7x)^2 = 7x]

Это уравнение можно записать как:

[49x^2 = 7x]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем его к стандартному виду:

[49x^2 - 7x = 0]

Вынесем общий множитель за скобки:

[7x(7x - 1) = 0]

Теперь у нас произведение равно нулю, что означает, что хотя бы один из множителей должен равняться нулю. Рассмотрим оба возможных случая:

1. (7x = 0)

   Это означает, что (x = 0).

2. (7x - 1 = 0)

   Решим это уравнение:

   [7x = 1]

   [x = \frac{1}{7}]

Теперь, учитывая, что (y = x), у нас есть два решения для системы уравнений:

1. (x = 0) и (y = 0)
2. (x = \frac{1}{7}) и (y = \frac{1}{7})

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

[ \begin{cases} x = 0 \ y = 0 \end{cases} ]

и

[ \begin{cases} x = \frac{1}{7} \ y = \frac{1}{7} \end{cases} ]

Для решения данной системы уравнений, сначала раскроем квадраты в обоих уравнениях:

1) (x + 6y)^2 = 7y x^2 + 12xy + 36y^2 = 7y

2) (x + 6y)^2 = 7x x^2 + 12xy + 36y^2 = 7x

Теперь выразим одну переменную через другую в одном из уравнений, например, в первом:

x^2 + 12xy + 36y^2 = 7y x^2 + 12xy + 36y^2 - 7y = 0 x^2 + y(12x - 7) + 36y^2 = 0

Далее, воспользуемся квадратным уравнением для нахождения значений переменных x и y. Решая его, найдем корни и составим решение системы уравнений.