Решите систему неравенств {10-2x/3+(5-2x)^2>=0 {2-7x<=14-3x

Для решения данной системы неравенств необходимо последовательно решить каждое неравенство по отдельности и затем найти их пересечение.

1) Решение первого неравенства: 10 - 2x/3 + (5 - 2x)^2 >= 0 Упростим выражение: 10 - 2x/3 + (25 - 20x + 4x^2) >= 0 4x^2 - 22x + 35 >= 0 Далее найдем корни квадратного уравнения: x1 = (22 + sqrt(22^2 - 4435))/8 = (22 + sqrt(484 - 560))/8 = (22 + sqrt(-76))/8 x2 = (22 - sqrt(76))/8 Так как дискриминант отрицателен, то у уравнения нет действительных корней, а значит, оно всегда положительно. Следовательно, первое неравенство выполняется для всех значений x.

2) Решение второго неравенства: 2 - 7x

Первое неравенство: x = 5 Второе неравенство: x

Для решения системы неравенств рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

Неравенство 1:

[ \frac{10 - 2x}{3} + (5 - 2x)^2 \geq 0 ]

Сначала упростим выражение:

1. Разделим на 3: [ \frac{10 - 2x}{3} = \frac{10}{3} - \frac{2x}{3} ]

2. Переходя к квадратичной части: [ (5 - 2x)^2 = 25 - 20x + 4x^2 ]

Теперь перепишем всё неравенство: [ \frac{10}{3} - \frac{2x}{3} + 25 - 20x + 4x^2 \geq 0 ]

Приведем подобные слагаемые: [ 4x^2 - 20x - \frac{2x}{3} + 25 + \frac{10}{3} \geq 0 ]

Сначала объединим линейные члены: [ 4x^2 - (20 + \frac{2}{3})x + 25 + \frac{10}{3} \geq 0 ] [ 4x^2 - \frac{60}{3}x - \frac{2}{3}x + 25 + \frac{10}{3} \geq 0 ] [ 4x^2 - \frac{62}{3}x + 25 + \frac{10}{3} \geq 0 ]

Теперь объединим свободные члены: [ 4x^2 - \frac{62}{3}x + \frac{75}{3} + \frac{10}{3} \geq 0 ] [ 4x^2 - \frac{62}{3}x + \frac{85}{3} \geq 0 ]

Приведем к общему знаменателю: [ 12x^2 - 62x + 85 \geq 0 ]

Неравенство 2:

[ 2 - 7x \leq 14 - 3x ]

Преобразуем это неравенство:

1. Перенесем все члены в одну сторону: [ 2 - 7x - 14 + 3x \leq 0 ]

2. Приведем подобные члены: [ -4x - 12 \leq 0 ]

3. Разделим на -4 (не забываем изменить знак неравенства): [ x \geq -3 ]

Совместное решение системы

Теперь у нас есть два неравенства:

1. ( 12x^2 - 62x + 85 \geq 0 )
2. ( x \geq -3 )

Для первого неравенства найдем корни квадратного уравнения ( 12x^2 - 62x + 85 = 0 ) с помощью дискриминанта ((D)):

[ D = b^2 - 4ac ] [ a = 12, b = -62, c = 85 ] [ D = (-62)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 85 ] [ D = 3844 - 4080 ] [ D = -236 ]

Так как дискриминант отрицательный ((D < 0)), квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Поскольку ведущий коэффициент квадратного уравнения (12) положительный, парабола направлена вверх, и значение выражения ( 12x^2 - 62x + 85 ) всегда положительно для всех ( x ). То есть: [ 12x^2 - 62x + 85 \geq 0 ]

Таким образом, первое неравенство выполняется для всех ( x ).

Совместив это с ( x \geq -3 ), получаем: [ x \geq -3 ]

Ответ: [ x \geq -3 ]