Решите неравенство log1/2(x-3)+log1/2(9-x)>= -3

Решение: x ∈ [3, 9].

Рассмотрим неравенство:

[ \log{\frac{1}{2}}(x-3) + \log{\frac{1}{2}}(9-x) \geq -3 ]

Для начала воспользуемся свойством логарифмов, согласно которому сумма логарифмов равна логарифму произведения:

[ \log_{\frac{1}{2}}((x-3)(9-x)) \geq -3 ]

Теперь выразим -3 через логарифм по основанию (\frac{1}{2}):

[ -3 = \log_{\frac{1}{2}}(8) ]

Тогда наше неравенство примет вид:

[ \log{\frac{1}{2}}((x-3)(9-x)) \geq \log{\frac{1}{2}}(8) ]

Поскольку логарифмическая функция (\log{\frac{1}{2}}(y)) убывающая, то неравенство (\log{\frac{1}{2}}(a) \geq \log_{\frac{1}{2}}(b)) эквивалентно неравенству (a \leq b). Следовательно:

[ (x-3)(9-x) \leq 8 ]

Рассмотрим функцию ( f(x) = (x-3)(9-x) ):

[ f(x) = x(9-x) - 3(9-x) = 9x - x^2 -27 + 3x = -x^2 + 12x - 27 ]

Перед нами квадратичная функция. Найдем её вершину, используя формулу для координаты вершины параболы ( x = -\frac{b}{2a} ):

[ x = \frac{12}{2} = 6 ]

Теперь найдем значение функции в этой точке:

[ f(6) = -(6)^2 + 12 \cdot 6 - 27 = -36 + 72 - 27 = 9 ]

Итак, ( f(x) = 9 ) в вершине. Нам необходимо найти ( x ), при которых ( f(x) \leq 8 ).

Рассмотрим уравнение ( (x-3)(9-x) = 8 ):

[ x^2 - 12x + 27 = 8 ]

[ x^2 - 12x + 19 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

[ D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 144 - 76 = 68 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{68}}{2} = 6 \pm \sqrt{17} ]

Таким образом, ( x ) принадлежит промежутку:

[ 3 \leq x \leq 9 ]

и ( x ) удовлетворяет неравенству:

[ 6 - \sqrt{17} \leq x \leq 6 + \sqrt{17} ]

Окончательный ответ: решение неравенства:

[ 6 - \sqrt{17} \leq x \leq 6 + \sqrt{17} ]

Для решения данного неравенства сначала объединим логарифмы с одинаковым основанием в один логарифм, используя свойство логарифмов:

log1/2((x-3)*(9-x)) >= -3

Далее преобразуем неравенство, используя определение логарифма:

1/2^(-3)