Решите неравенство: корень из 2x^2+x < 1+2x

1. Переносим все переменные в одну часть неравенства: sqrt(2x^2 + x) - 2x < 1
2. Возводим обе части неравенства в квадрат: 2x^2 + x - 4x(sqrt(2x^2 + x)) + 4x^2 < 1
3. Переносим все переменные в одну часть неравенства: 6x^2 - 4x(sqrt(2x^2 + x)) + x - 1 < 0
4. Решаем полученное квадратное уравнение.

Для решения данного неравенства, сначала приведем его к более удобному виду. Имеем неравенство: √(2x^2 + x) < 1 + 2x. Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня: 2x^2 + x < (1 + 2x)^2 2x^2 + x < 1 + 4x + 4x^2 2x^2 + x < 1 + 4x + 4x^2 2x^2 + x < 4x^2 + 4x + 1 Выразим все коэффициенты в левой части неравенства и перенесем все в правую часть: 0 < 2x^2 + 4x + 1 2x^2 + 4x + 1 > 0 Далее решим квадратное уравнение: D = b^2 - 4ac D = 4^2 - 421 D = 16 - 8 D = 8 x1 = (-4 + √8) / 4 x2 = (-4 - √8) / 4 x1 ≈ 0.293 x2 ≈ -2.293 Получаем, что неравенство выполняется при x принадлежащем интервалу (-бесконечность; -2.293) и (0.293; +бесконечность).

Для решения данного неравенства (\sqrt{2x^2 + x} < 1 + 2x) начнем с определения области, в которой неравенство имеет смысл. Корень определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения, поэтому:

[ 2x^2 + x \geq 0 ]

Разложим на множители:

[ x(2x + 1) \geq 0 ]

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что оно выполняется при:

[ x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq -\frac{1}{2} ]

Теперь вернемся к исходному неравенству. Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, а выражение (1 + 2x) может быть отрицательным (если (x < -\frac{1}{2})), рассмотрим случай, когда (x \geq -\frac{1}{2}) для того, чтобы обе части неравенства были определены и сравниваемы.

Поднимем обе части неравенства в квадрат (это допустимо, так как обе части неотрицательны при (x \geq -\frac{1}{2})):

[ 2x^2 + x < (1 + 2x)^2 ]

Раскроем квадрат справа:

[ 2x^2 + x < 1 + 4x + 4x^2 ]

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую сторону:

[ 2x^2 - 4x^2 + x - 4x + 1 < 0 ]

[ -2x^2 - 3x + 1 < 0 ]

Разложим квадратный трехчлен:

[ 2x^2 + 3x - 1 > 0 ]

Решим квадратное уравнение (2x^2 + 3x - 1 = 0) через дискриминант:

[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17 ]

[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4} ]

Таким образом, корни уравнения:

[ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} ]

Неравенство (2x^2 + 3x - 1 > 0) выполняется вне интервала между корнями, т.е. при:

[ x < \frac{-3 - \sqrt{17}}{4} \quad \text{или} \quad x > \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} ]

Но, учитывая ограничение (x \geq -\frac{1}{2}), исключаем первый интервал. Таким образом, окончательное решение неравенства:

[ x > \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} ]

Это значение приблизительно равно (x > 0.28).