Решите неравенство: корень из 2x^2+x < 1+2x

1. Переносим все переменные в одну часть неравенства: sqrt$2x^2+x$ - 2x < 1
2. Возводим обе части неравенства в квадрат: 2x^2 + x - 4x$sqrt(2x^2+x$) + 4x^2 < 1
3. Переносим все переменные в одну часть неравенства: 6x^2 - 4x$sqrt(2x^2+x$) + x - 1 < 0
4. Решаем полученное квадратное уравнение.

Для решения данного неравенства, сначала приведем его к более удобному виду. Имеем неравенство: √$2x^2+x$ < 1 + 2x. Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня: 2x^2 + x < $1+2x$^2 2x^2 + x < 1 + 4x + 4x^2 2x^2 + x < 1 + 4x + 4x^2 2x^2 + x < 4x^2 + 4x + 1 Выразим все коэффициенты в левой части неравенства и перенесем все в правую часть: 0 < 2x^2 + 4x + 1 2x^2 + 4x + 1 > 0 Далее решим квадратное уравнение: D = b^2 - 4ac D = 4^2 - 421 D = 16 - 8 D = 8 x1 = $-4+\surd 8$ / 4 x2 = $-4-\surd 8$ / 4 x1 ≈ 0.293 x2 ≈ -2.293 Получаем, что неравенство выполняется при x принадлежащем интервалу $-бесконечность;-2.293$ и $0.293;+бесконечность$.

Для решения данного неравенства $\sqrt{2x^2+x}<1+2x$ начнем с определения области, в которой неравенство имеет смысл. Корень определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения, поэтому:

$2x^2+x\ge 0$

Разложим на множители:

$x(2x+1)\ge 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что оно выполняется при:

$x\le 0\text{или}x\ge -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходному неравенству. Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, а выражение $1+2x$ может быть отрицательным $если(x<-\frac{1}{2}$), рассмотрим случай, когда $x\ge -\frac{1}{2}$ для того, чтобы обе части неравенства были определены и сравниваемы.

Поднимем обе части неравенства в квадрат $этодопустимо,таккакобечастинеотрицательныпри(x\ge -\frac{1}{2}$):

$2x^2+x<(1+2x{)}^2$

Раскроем квадрат справа:

$2x^2+x<1+4x+4x^2$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую сторону:

$2x^2-4x^2+x-4x+1<0$

$-2x^2-3x+1<0$

Разложим квадратный трехчлен:

$2x^2+3x-1>0$

Решим квадратное уравнение $2x^2+3x-1=0$ через дискриминант:

$D=3^2-4\cdot 2\cdot (-1)=9+8=17$

$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{4}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1=\frac{-3-\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$

Неравенство $2x^2+3x-1>0$ выполняется вне интервала между корнями, т.е. при:

$x<\frac{-3-\sqrt{17}}{4}\text{или}x>\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$

Но, учитывая ограничение $x\ge -\frac{1}{2}$, исключаем первый интервал. Таким образом, окончательное решение неравенства:

$x>\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$

Это значение приблизительно равно $x>0.28$.