Решите неравенство (Х+2)(Х-5)>0 и нарисуйте рисунок!

Рассмотрим решение неравенства ( (x+2)(x-5) > 0 ).

1. Найденим точки, где выражение становится равным нулю:

Произведение ( (x+2)(x-5) ) равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: [ x+2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2, ] [ x-5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5. ] Эти точки делят числовую прямую на три интервала: ( (-\infty, -2) ), ( (-2, 5) ), ( (5, +\infty) ).

2. Определим знаки выражения на каждом из интервалов:

Выбираем любое значение ( x ) из каждого интервала и подставляем его в выражение ( (x+2)(x-5) ), чтобы выяснить знак:

• Для интервала ( (-\infty, -2) ), возьмём, например, ( x = -3 ): [ (x+2)(x-5) = (-3+2)(-3-5) = (-1)(-8) = 8 > 0. ] Значит, на интервале ( (-\infty, -2) ) выражение положительно.

• Для интервала ( (-2, 5) ), возьмём, например, ( x = 0 ): [ (x+2)(x-5) = (0+2)(0-5) = (2)(-5) = -10 < 0. ] Значит, на интервале ( (-2, 5) ) выражение отрицательно.

• Для интервала ( (5, +\infty) ), возьмём, например, ( x = 6 ): [ (x+2)(x-5) = (6+2)(6-5) = (8)(1) = 8 > 0. ] Значит, на интервале ( (5, +\infty) ) выражение положительно.

3. Определим решение неравенства:

Нас интересует, где ( (x+2)(x-5) > 0 ), то есть где выражение положительно. Это происходит на интервалах ( (-\infty, -2) ) и ( (5, +\infty) ).

В точках ( x = -2 ) и ( x = 5 ) выражение равно нулю и не удовлетворяет строгому неравенству ( > 0 ). Поэтому эти точки не входят в решение.

Итак, решение: [ x \in (-\infty, -2) \cup (5, +\infty). ]

4. Графическое представление:

На числовой прямой изобразим точки ( x = -2 ) и ( x = 5 ) как выколотые (пустые) кружки, так как эти точки не входят в решение. Закрашиваем интервалы ( (-\infty, -2) ) и ( (5, +\infty) ), так как они удовлетворяют неравенству.

Числовая прямая:

    -2      5

Здесь:

• «●» и «○» указывают точки ( -2 ) и ( 5 ), которые не включаются.
• «====» обозначает интервалы, где неравенство выполняется.

Итог:

Решение: ( x \in (-\infty, -2) \cup (5, +\infty) ).

Чтобы решить неравенство ((X + 2)(X - 5) > 0), сначала найдем нули:

1. (X + 2 = 0 \Rightarrow X = -2)
2. (X - 5 = 0 \Rightarrow X = 5)

Теперь определим интервалы на числовой прямой: ((-\infty, -2)), ((-2, 5)), и ((5, +\infty)).

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала ((-\infty, -2)): (X = -3) (((-3 + 2)(-3 - 5) = (-1)(-8) > 0))

• Для интервала ((-2, 5)): (X = 0) (((0 + 2)(0 - 5) = (2)(-5) < 0))

• Для интервала ((5, +\infty)): (X = 6) (((6 + 2)(6 - 5) = (8)(1) > 0))

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах ((-\infty, -2)) и ((5, +\infty)).

Ответ: (X \in (-\infty, -2) \cup (5, +\infty)).

Рисунок:

    -3    -2     0     5     6
    +     -      +           +

Здесь «+» означает, что неравенство выполняется, а «-» - что не выполняется.

Чтобы решить неравенство ((x + 2)(x - 5) > 0), сначала определим, при каких значениях (x) произведение ((x + 2)(x - 5)) будет положительным.

Шаг 1: Найдем корни уравнения

Для начала найдем корни уравнения, приравняв выражение к нулю:

[ (x + 2)(x - 5) = 0 ]

У нас есть два корня:

1. (x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2)
2. (x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5)

Шаг 2: Определим интервалы

Корни делят числовую прямую на три интервала:

1. ( (-\infty, -2) )
2. ( (-2, 5) )
3. ( (5, +\infty) )

Шаг 3: Исследуем знаки на интервалах

Теперь проверим знак произведения ((x + 2)(x - 5)) на каждом из этих интервалов:

1. Интервал ( (-\infty, -2) ):

   • Выберем (x = -3): [ (-3 + 2)(-3 - 5) = (-1)(-8) = 8 > 0 ] Таким образом, на интервале ((- \infty, -2)) знак положительный.

2. Интервал ( (-2, 5) ):

   • Выберем (x = 0): [ (0 + 2)(0 - 5) = (2)(-5) = -10 < 0 ] На интервале ((-2, 5)) знак отрицательный.

3. Интервал ( (5, +\infty) ):

   • Выберем (x = 6): [ (6 + 2)(6 - 5) = (8)(1) = 8 > 0 ] На интервале ((5, +\infty)) знак положительный.

Шаг 4: Подведение итогов

Теперь мы можем подвести итог:

• ((x + 2)(x - 5) > 0) на интервалах ( (-\infty, -2) ) и ( (5, +\infty) ).
• На границах (-2) и (5) выражение равно нулю, поэтому эти точки не включаются в решение неравенства.

Ответ

Решение неравенства:

[ x \in (-\infty, -2) \cup (5, +\infty) ]

Графическое представление

На числовой прямой это будет выглядеть следующим образом:

     ●         ●
     |         |
    (-∞)     (∞)

• Линия слева от -2 и справа от 5 закрашена (что обозначает, что эти интервалы входят в решение).
• Круги на -2 и 5 пустые, что показывает, что эти точки не включаются в решение.

Таким образом, мы получили графическое представление решения неравенства.