Решите неравенство (х-1)(х+4)меньше или равно 0

Для решения неравенства ((x-1)(x+4) \leq 0) необходимо определить значения (x), при которых произведение ((x-1)(x+4)) неположительно, то есть меньше или равно нулю. Рассмотрим это шаг за шагом:

1. Нахождение корней уравнения:

   Сначала найдем значения (x), при которых ((x-1)(x+4) = 0).

   Решим два уравнения: [ x-1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 ] [ x+4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4 ]

   Таким образом, (x = 1) и (x = -4) являются корнями уравнения.

2. Разделение числовой прямой:

   Разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные корни. Таким образом, у нас есть три интервала:

   • ( (-\infty, -4) )
   • ( (-4, 1) )
   • ( (1, \infty) )

3. Определение знаков на интервалах:

   Выясним знаки выражения ((x-1)(x+4)) на каждом из этих интервалов.

   • На интервале ((- \infty, -4)): Выберем тестовую точку, например, (x = -5): [ (x-1)(x+4) = (-5-1)(-5+4) = (-6)(-1) = 6 \quad (\text{положительное}) ]

   • На интервале ((-4, 1)): Выберем тестовую точку, например, (x = 0): [ (x-1)(x+4) = (0-1)(0+4) = (-1)(4) = -4 \quad (\text{отрицательное}) ]

   • На интервале ((1, \infty)): Выберем тестовую точку, например, (x = 2): [ (x-1)(x+4) = (2-1)(2+4) = (1)(6) = 6 \quad (\text{положительное}) ]

4. Учет границ интервалов:

   Включим границы интервалов, где ((x-1)(x+4) = 0), так как нам нужно неположительное значение. Это точки (x = -4) и (x = 1).

5. Объединение интервалов:

   На основании вышеизложенного, выражение ((x-1)(x+4) \leq 0) выполняется на интервале ([-4, 1]).

Таким образом, решение неравенства ((x-1)(x+4) \leq 0) можно записать в виде: [ x \in [-4, 1] ]

Это означает, что все значения (x) в промежутке от (-4) до (1) включительно удовлетворяют данному неравенству.

Для решения данного неравенства нужно найти все значения х, при которых выражение (х-1)(х+4) меньше или равно 0.

1. Найдем корни уравнения (х-1)(х+4) = 0: х - 1 = 0 => х = 1 х + 4 = 0 => х = -4

2. Построим знаки многочлена (х-1)(х+4) в интервалах (-бесконечность; -4), (-4; 1) и (1; +бесконечность). Подставим произвольное значение из каждого интервала в выражение и определим знак: Для х = -5: (-5-1)(-5+4) = (-6)(-1) = 6 > 0 Для х = 0: (0-1)(0+4) = (-1)(4) = -4 < 0 Для х = 2: (2-1)(2+4) = (1)(6) = 6 > 0

3. Таким образом, неравенство (х-1)(х+4)

x = 1