Решите неравенство х² + 15х > 0

Для решения неравенства (x^2 + 15x > 0) начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения (x^2 + 15x = 0).

1. Факторизация: [x^2 + 15x = x(x + 15) = 0.]

   Из этого следует, что [x = 0 \quad \text{или} \quad x = -15.]

2. Интервалы знакопостоянства: Теперь разделим числовую ось на интервалы точками (x = 0) и (x = -15). Нам нужно определить знак выражения (x(x + 15)) на каждом из интервалов:

   • Когда (x < -15),
   • Когда (-15 < x < 0),
   • Когда (x > 0).

   Подставим произвольные значения из каждого интервала в выражение:

   • Если (x = -16), то ((-16)(-16 + 15) = -16 \cdot -1 = 16 > 0).
   • Если (x = -10), то ((-10)(-10 + 15) = -10 \cdot 5 = -50 < 0).
   • Если (x = 1), то (1(1 + 15) = 1 \cdot 16 = 16 > 0).

3. Решение неравенства: На основании знаков выражения на разных интервалах: [x^2 + 15x > 0] выполняется, когда (x \in (-\infty, -15) \cup (0, \infty)).

Итак, решением неравенства (x^2 + 15x > 0) является объединение интервалов (x \in (-\infty, -15) \cup (0, \infty)).

Для решения данного неравенства необходимо найти корни уравнения, соответствующего этому неравенству.

Сначала выражаем данное неравенство в виде уравнения: х² + 15х = 0

Факторизуем это уравнение: х(х + 15) = 0

Таким образом, корни уравнения равны х=0 и х=-15.

Теперь проведем анализ интервалов, в которых данное неравенство выполняется. Для этого строим знаки функции х² + 15х на числовой прямой, используя найденные корни.

---(-15)---0---(+)

Из построения видно, что неравенство х² + 15х > 0 выполняется на интервалах (-∞, -15) и (0, +∞).

Таким образом, решение неравенства х² + 15х > 0: x < -15 или x > 0.