Решите неравенство, используя метод интервалов (х + 3)(х – 4)(х – 6) < 0

Для решения данного неравенства методом интервалов необходимо выяснить значения x, при которых выражение (x + 3)(x - 4)(x - 6) меняет знак.

1. Найдем корни уравнений, соответствующих нулевым значениям выражения: x + 3 = 0 => x = -3 x - 4 = 0 => x = 4 x - 6 = 0 => x = 6

Таким образом, у нас есть корни -3, 4 и 6.

1. Построим интервалы на числовой прямой, разделяя их найденными корнями: -∞ --- (-3) --- (4) --- (6) --- +∞

2. Теперь выберем тестовую точку в каждом интервале и определим знак выражения (x + 3)(x - 4)(x - 6) в этой точке.

   • Тестовая точка для интервала (-∞, -3) = -4 (x + 3)(x - 4)(x - 6) = (-4 + 3)(-4 - 4)(-4 - 6) = (-1)(-8)(-10) = 80 > 0

• Тестовая точка для интервала (-3, 4) = 0 (x + 3)(x - 4)(x - 6) = (0 + 3)(0 - 4)(0 - 6) = (3)(-4)(-6) = 72 < 0

• Тестовая точка для интервала (4, 6) = 5 (x + 3)(x - 4)(x - 6) = (5 + 3)(5 - 4)(5 - 6) = (8)(1)(-1) = -8 < 0

• Тестовая точка для интервала (6, +∞) = 7 (x + 3)(x - 4)(x - 6) = (7 + 3)(7 - 4)(7 - 6) = (10)(3)(1) = 30 > 0

Исходя из результатов, неравенство (x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0 выполняется на интервалах (-3, 4) и (6, +∞). Таким образом, решение неравенства будет: -3 < x < 4 и x > 6.

Для решения неравенства ((x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0) с помощью метода интервалов, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти корни выражения:

   Решим уравнение ((x + 3)(x - 4)(x - 6) = 0). Корни этого уравнения будут точками, в которых выражение меняет знак.

   [ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3, ] [ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4, ] [ x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6. ]

2. Разбить числовую ось на интервалы:

   Используем найденные корни, чтобы разбить числовую ось на интервалы. В данном случае это точки (x = -3), (x = 4) и (x = 6), которые делят ось на четыре интервала:

   [ (-\infty, -3), \quad (-3, 4), \quad (4, 6), \quad (6, +\infty). ]

3. Определить знак выражения на каждом интервале:

   Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство, чтобы определить знак выражения на каждом интервале.

   • Для интервала ((- \infty, -3)), возьмем, например, (x = -4): [ (-4 + 3)(-4 - 4)(-4 - 6) = (-1)(-8)(-10) = -80 < 0. ]

   • Для интервала ((-3, 4)), возьмем, например, (x = 0): [ (0 + 3)(0 - 4)(0 - 6) = 3(-4)(-6) = 72 > 0. ]

   • Для интервала ((4, 6)), возьмем, например, (x = 5): [ (5 + 3)(5 - 4)(5 - 6) = 8(1)(-1) = -8 < 0. ]

   • Для интервала ((6, +\infty)), возьмем, например, (x = 7): [ (7 + 3)(7 - 4)(7 - 6) = 10(3)(1) = 30 > 0. ]

4. Записать решение:

   Нам нужно найти такие (x), для которых выражение ((x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0). Это соответствует интервалам, где знак выражения отрицательный:

   [ x \in (-\infty, -3) \cup (4, 6). ]

5. Записать окончательный ответ:

   Неравенство ((x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0) имеет решение:

   [ x \in (-\infty, -3) \cup (4, 6). ]

Это и есть окончательный ответ на заданное неравенство, решенное методом интервалов.