Решите неравенство: 2x^2 -9x +4 <= 0. В ответе укажите сумму целых решений неравенства

Чтобы решить неравенство (2x^2 - 9x + 4 \leq 0), сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения (2x^2 - 9x + 4 = 0).

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где (a = 2), (b = -9), (c = 4).

Сначала вычислим дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня:

[ x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} ]

[ x_1 = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 ]

[ x_2 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ]

Шаг 2: Решаем неравенство

У нас есть корни (x = 4) и (x = \frac{1}{2}). Квадратный трёхчлен (2x^2 - 9x + 4) принимает форму параболы, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при (x^2) положителен ((a = 2 > 0)).

Парабола пересекает ось (x) в точках (x = \frac{1}{2}) и (x = 4). Неравенство (2x^2 - 9x + 4 \leq 0) выполняется на отрезке ([\frac{1}{2}, 4]).

Шаг 3: Найдем сумму целых решений

Целые числа в интервале ([\frac{1}{2}, 4]) — это (1, 2, 3, 4).

Находим их сумму:

[ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ]

Таким образом, сумма целых решений неравенства равна (10).

Для решения данного неравенства сначала найдем корни квадратного трехчлена 2x^2 - 9x + 4 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

a = 2, b = -9, c = 4 D = (-9)^2 - 424 = 81 - 32 = 49

Таким образом, дискриминант равен 49, что больше нуля, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

x1,2 = (-(-9) +/- sqrt(49)) / (2*2) = (9 +/- 7) / 4 x1 = 4, x2 = 1/2

Теперь построим знаки на числовой прямой, используя найденные корни: ---x1---1/2---x2---

После этого выбираем тестовую точку из каждого интервала и проверяем знак неравенства в них.

Для интервала (-∞; 1/2): Подставляем x = 0, получаем 4 > 0, значит, в этом интервале неравенство не выполняется.

Для интервала (1/2; 4): Подставляем x = 2, получаем 4 > 0, значит, в этом интервале неравенство также не выполняется.

Следовательно, неравенство 2x^2 - 9x + 4