Решите неравенства 1) 5x^2-2x+1<0 2) -7x^2+5x-2x<=0

1) Для решения данного неравенства нужно найти корни квадратного трехчлена 5x^2-2x+1. Дискриминант D = (-2)^2 - 451 = 4 - 20 = -16, так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней. Так как у этого квадратного трехчлена нет действительных корней, то он имеет один и тот же знак на всей числовой прямой. Для определения этого знака рассмотрим значение квадратного трехчлена в некоторых точках: При x = 0: 50^2 - 20 + 1 = 1 > 0 При x = 1: 51^2 - 21 + 1 = 5 - 2 + 1 = 4 > 0 Таким образом, квадратный трехчлен 5x^2-2x+1 положителен при любых значениях x, и неравенство 5x^2-2x+1 < 0 не имеет решений.

2) Для решения данного неравенства нужно найти корни квадратного трехчлена -7x^2+5x-2. Дискриминант D = (5)^2 - 4(-7)(-2) = 25 - 56 = -31, так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней. Так как у этого квадратного трехчлена нет действительных корней, то он имеет один и тот же знак на всей числовой прямой. Для определения этого знака рассмотрим значение квадратного трехчлена в некоторых точках: При x = 0: -70^2 + 50 - 2 = -2 < 0 При x = 1: -71^2 + 51 - 2 = -7 + 5 - 2 = -4 < 0 Таким образом, квадратный трехчлен -7x^2+5x-2 отрицателен при любых значениях x, и неравенство -7x^2+5x-2 ≤ 0 имеет бесконечное множество решений.

Для решения неравенств рассмотрим каждое из них по отдельности.

1) (5x^2 - 2x + 1 < 0)

Рассмотрим квадратное уравнение (5x^2 - 2x + 1 = 0). Чтобы определить, есть ли у него решения, вычислим его дискриминант (D):

[ D = b^2 - 4ac ]

В данном случае (a = 5), (b = -2), (c = 1):

[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16 ]

Поскольку дискриминант отрицательный ((D < 0)), уравнение не имеет действительных корней.

Коэффициент при (x^2) (5) положительный, следовательно, парабола, заданная уравнением (5x^2 - 2x + 1), имеет ветви, направленные вверх. Поскольку у параболы нет точек пересечения с осью абсцисс и ветви направлены вверх, значение выражения (5x^2 - 2x + 1) всегда положительно для всех (x):

[ 5x^2 - 2x + 1 > 0 ]

Таким образом, неравенство (5x^2 - 2x + 1 < 0) не имеет решений.

2) (-7x^2 + 5x - 2 \leq 0)

Перепишем неравенство в стандартной форме квадратного уравнения:

(-7x^2 + 5x - 2 \leq 0)

Для начала решим соответствующее квадратное уравнение (-7x^2 + 5x - 2 = 0), чтобы найти его корни. Найдём дискриминант (D):

[ D = b^2 - 4ac ]

В данном случае (a = -7), (b = 5), (c = -2):

[ D = 5^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-2) = 25 - 56 = -31 ]

Поскольку дискриминант отрицательный ((D < 0)), уравнение не имеет действительных корней.

Коэффициент при (x^2) (-7) отрицательный, следовательно, парабола, заданная уравнением (-7x^2 + 5x - 2), имеет ветви, направленные вниз. Поскольку у параболы нет точек пересечения с осью абсцисс и ветви направлены вниз, значение выражения (-7x^2 + 5x - 2) всегда отрицательно для всех (x):

[ -7x^2 + 5x - 2 < 0 ]

Так как нам нужно неравенство (\leq 0), включим также равенство (хотя корней нет):

[ -7x^2 + 5x - 2 \leq 0 ]

Это неравенство выполняется для всех (x).

Таким образом:

1. Неравенство (5x^2 - 2x + 1 < 0) не имеет решений.
2. Неравенство (-7x^2 + 5x - 2 \leq 0) выполняется для всех (x \in \mathbb{R}).