Решите методом интервалов неравенство x(x-5)(x+3)>0

Для решения данного неравенства методом интервалов, нужно найти корни уравнения x(x-5)(x+3)=0. Эти корни будут точками разбиения числовой прямой на интервалы.

1. Найдем корни уравнения: x(x-5)(x+3)=0 x=0, x=5, x=-3

2. Построим таблицу знаков:

   -3   0    5
   

   ------|----|----|----|---- x 0 выполняется на интервалах: x < -3 и 0 < x < 5.

Таким образом, решением данного неравенства методом интервалов является множество всех x таких, что x принадлежит открытому интервалу (-бесконечность, -3) объединенному с интервалом (0, 5).

Для решения неравенства ( x(x-5)(x+3) > 0 ) методом интервалов, следуйте этим шагам:

1. Найдите нули функции: Нули функции — это значения ( x ), при которых функция равна нулю. Решите уравнение: [ x(x-5)(x+3) = 0 ] Это уравнение имеет три корня: [ x = 0, \quad x = 5, \quad x = -3 ]

2. Разделите числовую ось на интервалы: Используйте найденные нули, чтобы разбить числовую ось на интервалы. Эти интервалы будут: [ (-\infty, -3), \quad (-3, 0), \quad (0, 5), \quad (5, \infty) ]

3. Определите знаки функции на каждом интервале: Для этого возьмите любое тестовое значение из каждого интервала и подставьте его в выражение ( x(x-5)(x+3) ), чтобы определить знак функции на этом интервале.

   • Для интервала ((- \infty, -3)), возьмите, например, ( x = -4 ): [ (-4)(-4-5)(-4+3) = (-4)(-9)(-1) = -36 < 0 ] Знак: ( - )

   • Для интервала ((-3, 0)), возьмите, например, ( x = -1 ): [ (-1)(-1-5)(-1+3) = (-1)(-6)(2) = 12 > 0 ] Знак: ( + )

   • Для интервала ((0, 5)), возьмите, например, ( x = 1 ): [ (1)(1-5)(1+3) = (1)(-4)(4) = -16 < 0 ] Знак: ( - )

   • Для интервала ((5, \infty)), возьмите, например, ( x = 6 ): [ (6)(6-5)(6+3) = (6)(1)(9) = 54 > 0 ] Знак: ( + )

4. Определите интервалы, на которых функция больше нуля: Нас интересуют те интервалы, где произведение положительно: [ (-3, 0) \quad \text{и} \quad (5, \infty) ]

5. Запишите решение: Неравенство ( x(x-5)(x+3) > 0 ) выполняется на интервалах: [ x \in (-3, 0) \cup (5, \infty) ]

Таким образом, решением неравенства ( x(x-5)(x+3) > 0 ) методом интервалов является: [ x \in (-3, 0) \cup (5, \infty) ]