Решите квадратное уравнение (2х-1)(2х+1)+х(х-1)=2х(х+1)

Для начала раскроем скобки:

(2x - 1)(2x + 1) + x(x - 1) = 2x(x + 1)

4x^2 - 1 + x^2 - x = 2x^2 + 2x

Затем объединим подобные слагаемые:

4x^2 + x^2 - 1 - x - 2x^2 - 2x = 0

3x^2 - 3x - 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac D = (-3)^2 - 43(-1) D = 9 + 12 D = 21

x1,2 = (-b ± √D) / 2a x1,2 = (3 ± √21) / 6

Таким образом, решениями данного квадратного уравнения являются:

x1 = (3 + √21) / 6 x2 = (3 - √21) / 6

Рассмотрим уравнение:

[ (2x-1)(2x+1) + x(x-1) = 2x(x+1) ]

Сначала раскроем скобки в каждом из выражений.

1. Раскроем первую скобку ((2x-1)(2x+1)) с использованием формулы разности квадратов:

[ (2x-1)(2x+1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1 ]

1. Раскроем вторую скобку (x(x-1)):

[ x(x-1) = x^2 - x ]

1. Раскроем правую часть уравнения (2x(x+1)):

[ 2x(x+1) = 2x^2 + 2x ]

Подставим раскрытые выражения в уравнение:

[ 4x^2 - 1 + x^2 - x = 2x^2 + 2x ]

Соберем подобные члены:

[ (4x^2 + x^2) - x - 1 = 2x^2 + 2x ]

Объединяем и получаем:

[ 5x^2 - x - 1 = 2x^2 + 2x ]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

[ 5x^2 - x - 1 - 2x^2 - 2x = 0 ]

Упростим:

[ 3x^2 - 3x - 1 = 0 ]

Находим корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Для уравнения (ax^2 + bx + c = 0) дискриминант (D) равен:

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем уравнении (a = 3), (b = -3), (c = -1). Подставим значения:

[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 9 + 12 = 21 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня. Корни находятся по формуле:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения:

[ x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6} ]

Таким образом, корни уравнения:

[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{6} ] [ x_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{6} ]