Решите графическое уравнение: 6/x=x+1

Для решения уравнения ( \frac{6}{x} = x + 1 ) графическим методом, необходимо построить графики двух функций:

1. ( y_1 = \frac{6}{x} )
2. ( y_2 = x + 1 )

и найти точки их пересечения.

Построение графиков:

1. График функции ( y_1 = \frac{6}{x} ):

• Это гипербола, которая имеет асимптоты:
  • Вертикальная асимптота ( x = 0 ) (ось ( y ))
  • Горизонтальная асимптота ( y = 0 ) (ось ( x ))
• При ( x > 0 ) (правая часть гиперболы):
  • Если ( x ) увеличивается, то ( y_1 ) уменьшается и приближается к нулю.
  • Если ( x ) уменьшается, то ( y_1 ) увеличивается и стремится к бесконечности.
• При ( x < 0 ) (левая часть гиперболы):
  • Если ( x ) уменьшается (становится более отрицательным), то ( y_1 ) увеличивается и уходит в отрицательную бесконечность.
  • Если ( x ) увеличивается (становится менее отрицательным), то ( y_1 ) уменьшается и приближается к нулю.

2. График функции ( y_2 = x + 1 ):

• Это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и y-перехватом 1.
• Прямая пересекает ось ( y ) в точке (0, 1).
• Прямая пересекает ось ( x ) в точке (-1, 0).

Найдём точки пересечения:

Для нахождения точек пересечения, приравняем функции: [ \frac{6}{x} = x + 1 ]

Переносим все слагаемые в одну сторону: [ \frac{6}{x} - x - 1 = 0 ]

Умножаем все уравнение на ( x ) (предполагая ( x \neq 0 )) для избавления от дроби: [ 6 - x^2 - x = 0 ]

Перепишем уравнение в стандартной форме: [ x^2 + x - 6 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

Используем формулу квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -6 ): [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Подставляем значения: [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} ] [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} ] [ x = \frac{-1 \pm 5}{2} ]

Рассмотрим оба варианта:

1. ( x = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 )
2. ( x = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 )

Проверим найденные значения:

Для ( x = 2 ): [ y_1 = \frac{6}{2} = 3 ] [ y_2 = 2 + 1 = 3 ] Точка (2, 3) является точкой пересечения.

Для ( x = -3 ): [ y_1 = \frac{6}{-3} = -2 ] [ y_2 = -3 + 1 = -2 ] Точка (-3, -2) является точкой пересечения.

Вывод:

Точки пересечения графиков функций ( y_1 = \frac{6}{x} ) и ( y_2 = x + 1 ) являются решениями уравнения ( \frac{6}{x} = x + 1 ). Эти точки:

• ( x = 2 )
• ( x = -3 )

Таким образом, графическое решение уравнения ( \frac{6}{x} = x + 1 ) даёт два значения ( x ): [ x = 2 ] [ x = -3 ]

Для решения данного графического уравнения необходимо найти точку пересечения двух графиков функций y=6/x и y=x+1.

График функции y=6/x представляет собой гиперболу, которая проходит через начало координат и имеет асимптоты y=0 и x=0. График функции y=x+1 - это прямая, которая параллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке (0,1).

Для нахождения точки пересечения двух графиков подставим уравнения функций y=6/x и y=x+1 друг в друга: 6/x = x + 1 6 = x^2 + x x^2 + x - 6 = 0 (x + 3)(x - 2) = 0

Отсюда получаем два решения: x=-3 и x=2.

Таким образом, точки пересечения графиков функций y=6/x и y=x+1 равны (-3, -2) и (2, 3).