Решите графически уравнение √x+4=x-2

Чтобы решить уравнение ( \sqrt{x} + 4 = x - 2 ) графически, мы можем преобразовать его в систему уравнений, которая будет представлять две функции. Это позволит нам найти точки пересечения графиков этих функций.

1. Запишем уравнение в виде функций:

   • Первая функция: ( y_1 = \sqrt{x} + 4 )
   • Вторая функция: ( y_2 = x - 2 )

2. Найдем область определения первой функции:

   • Функция ( y_1 = \sqrt{x} + 4 ) определена при ( x \geq 0 ), так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

3. Построим графики обеих функций:

   • Для ( y_1 = \sqrt{x} + 4 ):

     • Когда ( x = 0 ), ( y_1 = \sqrt{0} + 4 = 4 ).
     • Когда ( x = 1 ), ( y_1 = \sqrt{1} + 4 = 5 ).
     • Когда ( x = 4 ), ( y_1 = \sqrt{4} + 4 = 6 ).
     • Когда ( x = 9 ), ( y_1 = \sqrt{9} + 4 = 7 ).

   • Для ( y_2 = x - 2 ):

     • Когда ( x = 0 ), ( y_2 = 0 - 2 = -2 ).
     • Когда ( x = 2 ), ( y_2 = 2 - 2 = 0 ).
     • Когда ( x = 4 ), ( y_2 = 4 - 2 = 2 ).
     • Когда ( x = 6 ), ( y_2 = 6 - 2 = 4 ).
     • Когда ( x = 8 ), ( y_2 = 8 - 2 = 6 ).

4. Нарисуем графики:

   • Ось ( x ) будет представлять значения ( x ), а ось ( y ) - соответствующие значения ( y_1 ) и ( y_2 ).
   • График функции ( y_1 ) будет представлять собой корень с добавленным 4, начиная с точки (0, 4) и постепенно поднимаясь вверх вправо.
   • График функции ( y_2 ) будет прямой линией, начиная с точки (0, -2) и поднимаясь под углом 45 градусов.

5. Найдем точки пересечения:

   • Чтобы найти точки пересечения графиков, нам нужно найти значения ( x ), при которых ( y_1 = y_2 ) (то есть ( \sqrt{x} + 4 = x - 2 )).
   • Графически это будет точка, где два графика пересекаются.

6. Решим уравнение:

   • Перепишем уравнение: [ \sqrt{x} + 4 = x - 2 \Rightarrow \sqrt{x} = x - 6 ]
   • Теперь мы можем возвести обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня: [ x = (x - 6)^2 ]
   • Раскроем скобки: [ x = x^2 - 12x + 36 \Rightarrow 0 = x^2 - 13x + 36 ]
   • Теперь решим квадратное уравнение: [ x^2 - 13x + 36 = 0 ]
   • Используем дискриминант: [ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 ]
   • Корни уравнения: [ x = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2} ]
   • Таким образом, получаем два решения: [ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 ]

7. Проверка решений:

   • ( x = 4 ): [ \sqrt{4} + 4 = 2 + 4 = 6, \quad 4 - 2 = 2 \quad \text{(неверно)} ]
   • ( x = 9 ): [ \sqrt{9} + 4 = 3 + 4 = 7, \quad 9 - 2 = 7 \quad \text{(верно)} ]

Таким образом, единственным решением уравнения ( \sqrt{x} + 4 = x - 2 ) является ( x = 9 ).

На графике это будет точка пересечения двух функций.

Для графического решения уравнения ( \sqrt{x} + 4 = x - 2 ) необходимо изобразить две функции:

1. ( y_1 = \sqrt{x} + 4 )
2. ( y_2 = x - 2 )

Затем нам нужно найти точки пересечения этих графиков.

1. Функция ( y_1 ) — это корень квадратный, который начинается с точки (0, 4) и возрастает.
2. Функция ( y_2 ) — это прямая, которая проходит через точку (0, -2) и также возрастает.

Пересечение этих функций даст решение уравнения.

Графически, можно найти, что точки пересечения происходят, например, при ( x = 6 ).

Таким образом, решение уравнения ( \sqrt{x} + 4 = x - 2 ) — это ( x = 6 ).

Чтобы решить уравнение (\sqrt{x+4} = x - 2) графически, следуем следующему алгоритму:

1. Разделим уравнение на две функции:

Пусть:

• (y_1 = \sqrt{x+4}) — левая часть уравнения.
• (y_2 = x - 2) — правая часть уравнения.

Ищем точки пересечения графиков (y_1) и (y_2), так как в этих точках значения функций равны, то есть (\sqrt{x+4} = x - 2).

2. Области определения функций:

Для построения графиков нужно определить, где функции имеют смысл.

1. Для (y_1 = \sqrt{x+4}):

   • Подкоренное выражение (x+4 \geq 0), откуда (x \geq -4).
   • Значение корня всегда неотрицательно, то есть (y_1 \geq 0).

2. Для (y_2 = x - 2):

   • Эта функция определена на всей числовой прямой ((x \in \mathbb{R})).

Таким образом, общая область определения — это (x \geq -4).

3. Построение графиков:

Построим графики обеих функций:

График (y_1 = \sqrt{x+4}):

1. Это функция корня, сдвинутая на 4 единицы влево.
2. Ее график начинается в точке ((-4, 0)), так как (\sqrt{-4+4} = 0).
3. При увеличении (x), (y_1) возрастает.

График (y_2 = x - 2):

1. Это линейная функция с угловым коэффициентом (1) (прямая под углом 45°) и точкой пересечения с осью (y) в ((-2)).
2. Она возрастает неограниченно.

4. Найдем точки пересечения:

Точки пересечения графиков находятся там, где (\sqrt{x+4} = x - 2). Это соответствует решению уравнения.

Анализ графиков:

• График (y_1 = \sqrt{x+4}) возрастает медленнее, чем (y_2 = x - 2), из-за свойства квадратного корня.
• Значит, пересечения могут быть только в области (x \geq -4).

Решение алгебраически для уточнения:

Решим уравнение (\sqrt{x+4} = x - 2) аналитически:

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы убрать корень: [ (\sqrt{x+4})^2 = (x-2)^2 ] [ x + 4 = x^2 - 4x + 4 ]
2. Преобразуем в квадратное уравнение: [ 0 = x^2 - 5x ] [ x(x - 5) = 0 ]
3. Найдем корни: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5 ]

Проверка корней:

Подставим оба значения (x) в исходное уравнение (\sqrt{x+4} = x - 2):

1. Для (x = 0): [ \sqrt{0+4} = 0 - 2 \quad \Rightarrow \quad 2 \neq -2 ] Этот корень не подходит.

2. Для (x = 5): [ \sqrt{5+4} = 5 - 2 \quad \Rightarrow \quad 3 = 3 ] Этот корень подходит.

5. Ответ:

Графики функций (y_1 = \sqrt{x+4}) и (y_2 = x - 2) пересекаются в одной точке: [ x = 5. ]

Решение уравнения: (x = 5).