Решите графически уравнение √х-2=4-х

Для того чтобы решить графически уравнение √x-2=4-x, мы можем построить графики обеих функций y=√x-2 и y=4-x на координатной плоскости и найти точку их пересечения, которая будет являться решением уравнения.

Сначала построим график функции y=√x-2. Для этого начнём с графика функции y=√x и сдвинем его вниз на 2 единицы. Он будет представлять из себя положительную часть параболы, проходящей через точку (0,-2).

Затем построим график функции y=4-x. Он будет представлять из себя прямую с угловым коэффициентом -1 и точкой пересечения с осью ординат в точке (0,4).

Теперь найдем точку пересечения двух графиков, которая будет являться решением уравнения. По графику видно, что они пересекаются при x=3, y=1.

Таким образом, решением уравнения √x-2=4-x является x=3.

Решение уравнения графическим методом включает построение графиков двух функций, которые составляют уравнение, и нахождение их точек пересечения. Рассмотрим уравнение (\sqrt{x} - 2 = 4 - x).

Для начала, обозначим каждую часть уравнения как отдельную функцию:

1. (y_1 = \sqrt{x} - 2)
2. (y_2 = 4 - x)

Теперь построим графики этих функций.

Построение графика (y_1 = \sqrt{x} - 2):

1. Определим область определения: функция (\sqrt{x}) определена для (x \geq 0). Значит, (y_1 = \sqrt{x} - 2) также определена для (x \geq 0).
2. Найдем несколько точек для построения графика:
   • При (x = 0): (y_1 = \sqrt{0} - 2 = -2)
   • При (x = 4): (y_1 = \sqrt{4} - 2 = 0)
   • При (x = 9): (y_1 = \sqrt{9} - 2 = 1)
3. Соединяем эти точки, учитывая, что график функции (\sqrt{x}) начинается из точки (0, -2) и поднимается вправо, постепенно уменьшаясь по абсолютной величине.

Построение графика (y_2 = 4 - x):

1. Определим область определения: функция (4 - x) определена для всех значений (x).
2. Найдем несколько точек для построения графика:
   • При (x = 0): (y_2 = 4 - 0 = 4)
   • При (x = 4): (y_2 = 4 - 4 = 0)
   • При (x = 8): (y_2 = 4 - 8 = -4)
3. Соединяем эти точки, зная, что это прямая линия с отрицательным наклоном, убывающая в обе стороны от точки (0, 4).

Нахождение точки пересечения:

Графики функций (y_1) и (y_2) пересекаются в той точке, где значения (y_1) и (y_2) равны. Это можно найти визуально, построив графики, или аналитически, решив систему уравнений:

[ \sqrt{x} - 2 = 4 - x ]

Решение системы уравнений аналитически:

1. Перенесем все одно из уравнений в одну сторону:

[ \sqrt{x} - 2 + x - 4 = 0 \implies \sqrt{x} + x - 6 = 0 ]

1. Обозначим (\sqrt{x}) как (t), тогда уравнение будет:

[ t + t^2 - 6 = 0 \implies t^2 + t - 6 = 0 ]

1. Решим квадратное уравнение:

[ t^2 + t - 6 = 0 ]

[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} ]

[ t_1 = 2, \quad t_2 = -3 ]

Поскольку (t = \sqrt{x}), отрицательный корень (t_2 = -3) не имеет смысла. Остается (t = 2):

[ \sqrt{x} = 2 \implies x = 4 ]

Проверим найденное значение в исходном уравнении:

[ \sqrt{4} - 2 = 4 - 4 \implies 2 - 2 = 0 ]

Таким образом, (x = 4) является решением уравнения (\sqrt{x} - 2 = 4 - x).

Графическое подтверждение:

Если построить графики функций (y_1 = \sqrt{x} - 2) и (y_2 = 4 - x), они пересекутся в точке (x = 4), что подтверждает наше аналитическое решение.

Ответ: Решением уравнения (\sqrt{x} - 2 = 4 - x) является (x = 4).