Решите графически систему уравнений xy=8 y-x=2

Для решения системы уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения на одной координатной плоскости и найти точки их пересечения. Рассмотрим систему уравнений:

1. ( xy = 8 )
2. ( y - x = 2 )

Шаг 1: Построение графика уравнения ( xy = 8 )

Это уравнение представляет собой гиперболу. Чтобы построить график, найдем несколько точек, удовлетворяющих этому уравнению:

• Если ( x = 1 ), то ( y = \frac{8}{1} = 8 ). Точка (1, 8).
• Если ( x = 2 ), то ( y = \frac{8}{2} = 4 ). Точка (2, 4).
• Если ( x = 4 ), то ( y = \frac{8}{4} = 2 ). Точка (4, 2).
• Если ( x = 8 ), то ( y = \frac{8}{8} = 1 ). Точка (8, 1).

Также рассмотрим отрицательные значения ( x ):

• Если ( x = -1 ), то ( y = \frac{8}{-1} = -8 ). Точка (-1, -8).
• Если ( x = -2 ), то ( y = \frac{8}{-2} = -4 ). Точка (-2, -4).
• Если ( x = -4 ), то ( y = \frac{8}{-4} = -2 ). Точка (-4, -2).
• Если ( x = -8 ), то ( y = \frac{8}{-8} = -1 ). Точка (-8, -1).

Соединяя эти точки, мы получим гиперболу.

Шаг 2: Построение графика уравнения ( y - x = 2 )

Это линейное уравнение. Преобразуем его в стандартный вид ( y = x + 2 ). Чтобы построить график этой прямой, найдем несколько точек:

• Если ( x = 0 ), то ( y = 0 + 2 = 2 ). Точка (0, 2).
• Если ( x = 2 ), то ( y = 2 + 2 = 4 ). Точка (2, 4).
• Если ( x = -2 ), то ( y = -2 + 2 = 0 ). Точка (-2, 0).

Соединяя эти точки, мы получим прямую.

Шаг 3: Нахождение точек пересечения

Теперь на одной координатной плоскости необходимо построить гиперболу ( xy = 8 ) и прямую ( y = x + 2 ). Точки пересечения этих графиков будут решениями системы уравнений.

Для нахождения точек пересечения можно решить систему алгебраически:

1. Подставим ( y = x + 2 ) в уравнение ( xy = 8 ): [ x(x + 2) = 8 ] [ x^2 + 2x - 8 = 0 ]

2. Решим квадратное уравнение: [ x^2 + 2x - 8 = 0 ] Найдем дискриминант: [ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 ] Найдем корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} ] [ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 ]

3. Найдем соответствующие значения ( y ): [ y_1 = 2 + 2 = 4, \quad y_2 = -4 + 2 = -2 ]

Итак, точки пересечения графиков и решения системы уравнений: [ (2, 4) ] и [ (-4, -2) ].

Ответ:

Система уравнений имеет два решения: ((2, 4)) и ((-4, -2)).

Для решения данной системы уравнений графически, мы можем использовать метод подстановки.

Сначала выразим одну из переменных через другую из второго уравнения: y = x + 2

Теперь подставим это выражение в первое уравнение: x * (x + 2) = 8 x^2 + 2x - 8 = 0

Далее найдем корни квадратного уравнения: D = 2^2 - 4 1 (-8) = 36 x1,2 = (-2 ± √36) / 2 x1 = 2, x2 = -4

Теперь найдем соответствующие значения y: При x = 2: y = 2 + 2 = 4 При x = -4: y = -4 + 2 = -2

Таким образом, получаем две точки пересечения графиков уравнений: (2, 4) и (-4, -2).

Построив графики уравнений xy = 8 и y = x + 2, мы найдем точки пересечения и получим их координаты.