Решите биквадратное уравнение x⁴+5x²-36=0 пожалуйста можно полное решение(Ｔ▽Ｔ)

Конечно, рассмотрим решение биквадратного уравнения ( x^4 + 5x^2 - 36 = 0 ) шаг за шагом.

Шаг 1: Замена переменной

Биквадратное уравнение имеет вид ( x^4 + ax^2 + b = 0 ). Чтобы упростить его, введем новую переменную: [ y = x^2 ] Тогда уравнение примет вид: [ y^2 + 5y - 36 = 0 ]

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно ( y ): [ y^2 + 5y - 36 = 0 ]

Для этого используем формулу квадратного уравнения: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -36 ).

Подставим значения ( a ), ( b ) и ( c ): [ y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1} ] [ y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} ] [ y = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2} ] [ y = \frac{-5 \pm 13}{2} ]

Шаг 3: Нахождение корней для ( y )

Теперь найдем значения ( y ):

1. ( y_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4 )
2. ( y_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9 )

Шаг 4: Обратная замена переменной

Помним, что ( y = x^2 ). Теперь рассмотрим каждое значение ( y ):

1. ( y = 4 ) [ x^2 = 4 ] [ x = \pm \sqrt{4} ] [ x = \pm 2 ]

2. ( y = -9 ) [ x^2 = -9 ]

Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным в области действительных чисел, это уравнение не имеет действительных решений.

Заключение

Таким образом, действительные корни исходного биквадратного уравнения ( x^4 + 5x^2 - 36 = 0 ) следующие: [ x = 2 \text{ или } x = -2 ]

Ответ

Корни уравнения: ( x = \pm 2 ).

Для решения биквадратного уравнения x⁴+5x²-36=0 нужно вводить замену y=x². Тогда уравнение примет вид y²+5y-36=0. Решив это квадратное уравнение, получаем два корня: y₁=4 и y₂=-9. Затем подставляем обратно y=x² и решаем уравнения x²=4 и x²=-9. Получаем четыре корня: x₁=2, x₂=-2, x₃=3i и x₄=-3i.

Для решения биквадратного уравнения x⁴ + 5x² - 36 = 0, введем замену: y = x². Тогда уравнение примет вид y² + 5y - 36 = 0.

Далее решим квадратное уравнение относительно y:

D = 5² - 41(-36) = 25 + 144 = 169.

y₁ = (-5 + √169) / 2 = (-5 + 13) / 2 = 4; y₂ = (-5 - √169) / 2 = (-5 - 13) / 2 = -9.

Таким образом, получаем два значения y: y₁ = 4 и y₂ = -9.

Подставим обратно в замену и найдем соответствующие значения x:

Для y₁ = 4: x₁ = √4 = ±2; x₂ = -√4 = ±2.

Для y₂ = -9: уравнение y = x² не имеет решений, так как не может быть отрицательным.

Итак, решением исходного биквадратного уравнения являются x₁ = 2 и x₂ = -2.