РЕШИТЕ
1 вариант
1) Упростите выражение:
4 sin²2х– 9 + 4cos²2х
1) -1; 2)-5; 3) 5; 4) 13
2) Найдите tgß, если sinß = 1/ √10 и
π < ß < 3 π/2
1) -1/3; 2) 3/10; 3) 1/3; 4) -3/√10
3) Найдите значение выражения:
7 cos(π + α) – sin(3π/2 + α), если cosα = 0,6
1) 4cosα; 2) 3,6; 3) -3,6; 4) sinα
4) Упростите выражение:
(1 + cos2α) : (1 - cos2α)
1) tg²α ; 2) 1/sin2α; 3) сtg2α; 4) сtg²α
5) Вычислите: sin( -19π/6) + sinπ/8 ·cos π/8
1) √2/2; 2) 1; 3) (-2 + √2)/4; 4) (2 + √2)/4
1) 13 2) -1/3 3) 3,6 4) tg²α 5) (-2 + √2)/4
1) Упростите выражение:
4 sin²2х– 9 + 4cos²2х
4 sin²2x + 4cos²2x - 9
Пользуясь тригонометрическим тождеством sin²α + cos²α = 1, получаем:
4(sin²2x + cos²2x) - 9
4(1) - 9
4 - 9
-5
Ответ: -5
2) Найдите tgß, если sinß = 1/√10 и π < ß < 3π/2
Так как sinß = 1/√10, то cosß = ±√(1 - sin²ß) = ±√(1 - 1/10) = ±√(9/10) = ±3/√10
Так как β находится во втором квадранте, то cosß < 0. Поэтому cosß = -3/√10
Так как tgß = sinß/cosß, то tgß = (1/√10)/(-3/√10) = -1/3
Ответ: -1/3
3) Найдите значение выражения:
7 cos(π + α) – sin(3π/2 + α), если cosα = 0,6
cos(π + α) = -cosα = -0,6
sin(3π/2 + α) = -cos(α) = -0,6
7*(-0,6) - (-0,6) = -4,8 + 0,6 = -4,2
Ответ: -4,2
4) Упростите выражение:
(1 + cos2α) : (1 - cos2α)
Пользуясь тригонометрическим тождеством cos2α = cos²α - sin²α и sin²α = 1 - cos²α, получаем:
(1 + cos²α - sin²α) : (1 - cos²α)
(1 + cos²α - (1 - cos²α)) : (1 - cos²α)
(1 + cos²α - 1 + cos²α) : (1 - cos²α)
(2cos²α) : (1 - cos²α)
(2cos²α) : sin²α
tg²α
Ответ: tg²α
5) Вычислите: sin(-19π/6) + sin(π/8) · cos(π/8)
sin(-19π/6) = sin(-3π - π/6) = -sin(π/6) = -1/2
sin(π/8) = sin(4π/32) = sin(π/32)
cos(π/8) = cos(4π/32) = cos(π/32)
Пользуясь формулой sinαcosβ = (sin(α + β) + sin(α - β))/2, получаем:
sin(π/8) · cos(π/8) = (sin(π/4) + sin(0))/2 = (√2/2 + 0)/2 = √2/4
-1/2 + √2/4 = (-2 + √2)/4
Ответ: (-2 + √2)/4
Давайте рассмотрим каждое задание по очереди.
Используем основное тригонометрическое тождество: (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1).
Таким образом, (\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1).
Заменим в выражении: [4 \sin^2 2x + 4 \cos^2 2x = 4(\sin^2 2x + \cos^2 2x) = 4 \times 1 = 4.]
Следовательно, выражение упрощается до: [4 - 9 = -5.]
Ответ: 2) -5.
В третьей четверти (\sin) отрицательный, поэтому на самом деле (\sin \beta = -\frac{1}{\sqrt{10}}).
Используем тождество (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1): [\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 + \cos^2 \beta = 1,] [\frac{1}{10} + \cos^2 \beta = 1,] [\cos^2 \beta = \frac{9}{10}.]
Так как (\beta) в третьей четверти, то (\cos \beta) также отрицательный: [\cos \beta = -\frac{3}{\sqrt{10}}.]
Теперь найдём (\tan \beta): [\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}}} = \frac{1}{3}.]
Ответ: 3) 1/3.
Используем следующие тождества: (\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha), (\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos \alpha).
Следовательно: [7 \cos(\pi + \alpha) = 7(-\cos \alpha) = -7 \cos \alpha,] [-\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -(-\cos \alpha) = \cos \alpha.]
Итак, выражение упрощается до: [-7 \cos \alpha + \cos \alpha = -6 \cos \alpha.]
Подставим (\cos \alpha = 0,6): [-6 \times 0,6 = -3,6.]
Ответ: 3) -3,6.
Используем формулу для косинуса двойного угла: (\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha).
Выражение можно переписать как: [\frac{1 + (1 - 2\sin^2 \alpha)}{1 - (1 - 2\sin^2 \alpha)} = \frac{2 - 2\sin^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha} = \frac{2(1 - \sin^2 \alpha)}{2\sin^2 \alpha} = \frac{2\cos^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha} = \cot^2 \alpha.]
Ответ: 4) (\cot^2 \alpha).
Сначала упростим (\sin\left(-\frac{19\pi}{6}\right)): (-\frac{19\pi}{6}) эквивалентно (-\pi - \frac{\pi}{6}).
Так как (\sin(-\theta) = -\sin \theta), имеем: [\sin\left(-\frac{19\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}.]
Теперь вычислим (\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)): Используем двойную угловую формулу: [2\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.]
Таким образом: [\sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}.]
Теперь сложим: [-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}.]
Выразим в общих дробях: [-\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 + \sqrt{2}}{4}.]
Ответ: 3) (\frac{-2 + \sqrt{2}}{4}).
