Решить задачу: Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что на удачу выбранные...

Для решения задачи о вероятности того, что на удачу выбранные 3 лампы из 100 окажутся исправными, можно использовать формулы комбинаторики и вероятности.

1. Общее количество способов выбрать 3 лампы из 100: Количество способов выбрать 3 лампы из 100 можно найти с помощью биномиального коэффициента, который рассчитывается как: [ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ] где ( n ) — общее количество ламп, ( k ) — количество выбираемых ламп. В нашем случае ( n = 100 ) и ( k = 3 ): [ C(100, 3) = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100!}{3! \cdot 97!} ]

   Упростим это выражение: [ C(100, 3) = \frac{100 \times 99 \times 98}{3 \times 2 \times 1} = 161700 ]

2. Количество способов выбрать 3 исправные лампы из 95 исправных: Среди 100 ламп 95 — исправные. Количество способов выбрать 3 исправные лампы из 95 также рассчитывается с помощью биномиального коэффициента: [ C(95, 3) = \frac{95!}{3!(95-3)!} = \frac{95!}{3! \cdot 92!} ]

   Упростим это выражение: [ C(95, 3) = \frac{95 \times 94 \times 93}{3 \times 2 \times 1} = 132860 ]

3. Вероятность того, что все 3 выбранные лампы окажутся исправными: Вероятность вычисляется как отношение количества благоприятных исходов (выбор 3 исправных ламп) к общему количеству возможных исходов (выбор любых 3 ламп из 100): [ P(\text{исправные}) = \frac{C(95, 3)}{C(100, 3)} = \frac{132860}{161700} ]

   Упростим эту дробь: [ P(\text{исправные}) = \frac{132860}{161700} \approx 0.821 ]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранные 3 лампы окажутся исправными, составляет примерно ( 0.821 ) или ( 82.1\% ).

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить вероятность того, что при выборе 3 ламп, все они будут исправными.

Сначала найдем общее число способов выбрать 3 лампы из 100. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(100, 3) = 100! / (3! * (100-3)!) = 161700 способов.

Теперь найдем число способов выбрать 3 исправные лампы из 95 оставшихся исправных: C(95, 3) = 95! / (3! * (95-3)!) = 84665 способов.

Итак, вероятность того, что 3 выбранные лампы окажутся исправными: P = 84665 / 161700 ≈ 0.5238 или округленно 52.38%.

Таким образом, вероятность того, что при случайном выборе 3 ламп из 100 они окажутся исправными, составляет примерно 52.38%.