Решить уравнение log7(x)+log49(36)=log1/7(2x+6)+log7(48)

Чтобы решить уравнение ( \log7(x) + \log{49}(36) = \log_{1/7}(2x+6) + \log_7(48) ), нам необходимо использовать свойства логарифмов и преобразовать выражение в удобный вид. Давайте разберёмся с каждым логарифмом отдельно и упростим уравнение.

1. Разложение логарифмов:

   • ( \log{49}(36) ) можно переписать как ( \log{7^2}(36) ). Поскольку ( \log_{a^b}(c) = \frac{1}{b} \log_a(c) ), мы получаем ( \frac{1}{2} \log_7(36) ).
   • ( \log{1/7}(2x+6) ) можно переписать с использованием свойства (\log{1/a}(b) = -\log_a(b)), получаем (-\log_7(2x+6)).

2. Сборка уравнения: После применения свойств логарифмов наше уравнение принимает вид: [ \log_7(x) + \frac{1}{2} \log_7(36) = -\log_7(2x+6) + \log_7(48) ]

3. Перенос и объединение логарифмов: Объединим логарифмы с одинаковыми основаниями и упростим: [ \log_7(x) + \frac{1}{2} \log_7(36) + \log_7(2x+6) = \log_7(48) ] Объединяя логарифмы на левой стороне, получаем: [ \log_7(x \cdot (2x+6) \cdot 36^{1/2}) = \log_7(48) ] Обратите внимание, что (36^{1/2} = 6), поэтому уравнение становится: [ \log_7(x(2x+6) \cdot 6) = \log_7(48) ]

4. Упрощение и решение: Убираем логарифмы, так как у нас они с одинаковыми основаниями: [ x(2x+6) \cdot 6 = 48 ] Упростим: [ 6x(2x+6) = 48 ] [ 12x^2 + 36x = 48 ] Переносим всё на одну сторону: [ 12x^2 + 36x - 48 = 0 ] Делим всё уравнение на 12: [ x^2 + 3x - 4 = 0 ]

5. Решение квадратного уравнения: Решаем квадратное уравнение (x^2 + 3x - 4 = 0) через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{2} ] [ x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 ]

6. Проверка: Поскольку логарифм определён только для положительных чисел, ( x = -4 ) не подходит, так как логарифм от отрицательного числа не определён. Следовательно, единственное решение: [ x = 1 ]

Таким образом, решение уравнения ( \log7(x) + \log{49}(36) = \log_{1/7}(2x+6) + \log_7(48) ) — это ( x = 1 ).

x = 4

Для решения данного уравнения сначала воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Преобразуем логарифмы с основанием 7 и 49: log7(x) + log49(36) = log1/7(2x + 6) + log7(48) log7(x) + log7(36)/log7(49) = log1/7(2x + 6) + log7(48) log7(x) + 2log7(6) = log(2x + 6)/log7(1/7) + log7(48)

2. Затем воспользуемся свойством логарифмов, чтобы объединить их: log7(6x) = log7(48) + log7(1/7^(2x + 6))

3. Теперь, так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, можем убрать логарифмы и получим: 6x = 48 * 1/7^(2x + 6)

4. Далее, решим полученное уравнение: 6x = 48 1/(7^(2x) 7^6) 6x = 48 1/(49^x 7^6) 6x = 48 * 1/(7^(2x + 6))

5. Решим полученное уравнение и найдем значение x.