Решить уравнение log1/4(x^2-3x)=-1

Чтобы решить уравнение (\log_{1/4}(x^2 - 3x) = -1), следуем следующим шагам:

1. Понимание логарифмического уравнения: Уравнение (\log_{1/4}(x^2 - 3x) = -1) означает, что основание логарифма ( \frac{1}{4} ) возводится в степень (-1) и результат равен аргументу логарифма (x^2 - 3x).

2. Преобразование логарифмического уравнения в экспоненциальное: Учитывая определение логарифма, имеем: [ x^2 - 3x = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} ]

3. Вычисление правой части уравнения: Поскольку (\left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4), уравнение упрощается до: [ x^2 - 3x = 4 ]

4. Решение квадратного уравнения: Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения: [ x^2 - 3x - 4 = 0 ]

5. Нахождение корней квадратного уравнения: Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта или методом разложения на множители.

   • Рассмотрим разложение на множители: [ x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) = 0 ]

   • Нахождение корней: [ x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 ] [ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 ]

6. Проверка корней в исходном уравнении: Необходимо убедиться, что полученные значения (x) удовлетворяют исходному логарифмическому уравнению.

   • Для (x = 4): [ x^2 - 3x = 4^2 - 3 \cdot 4 = 16 - 12 = 4 ] [ \log_{1/4}(4) = -1 \quad \text{(что верно, так как (4 = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1}))} ]

   • Для (x = -1): [ x^2 - 3x = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4 ] [ \log_{1/4}(4) = -1 \quad \text{(это также верно)} ]

Таким образом, оба значения (x = 4) и (x = -1) являются решениями уравнения. Ответ: (x = 4) и (x = -1).

x = 4.

Для решения данного уравнения необходимо использовать свойства логарифмов. Сначала преобразуем уравнение:

log1/4(x^2-3x) = -1

Применяем свойство логарифмов: если log_a(b) = c, то a^c = b. Таким образом, перепишем уравнение в экспоненциальной форме:

1/4 = (x^2-3x)

Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

1 = 4(x^2-3x)

1 = 4x^2 - 12x

Приводим уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

4x^2 - 12x - 1 = 0

Далее решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-12)^2 - 44(-1) = 144 + 16 = 160

x = (12 ± √160) / 8

x = (12 ± 4√10) / 8

x = (3 ± √10) / 2

Таким образом, уравнение log1/4(x^2-3x)=-1 имеет два корня: x = (3 + √10) / 2 и x = (3 - √10) / 2.