решить уравнение: 2sin²x-3sinx-2=0
решить уравнение: 2sin²x-3sinx-2=0
Для решения уравнения 2sin²x - 3sinx - 2 = 0 можно воспользоваться методом подстановки. Обозначим sinx = t, тогда уравнение примет вид 2t² - 3t - 2 = 0. Теперь найдем корни квадратного уравнения 2t² - 3t - 2 = 0.
Для этого воспользуемся формулой дискриминанта D = b² - 4ac, где a = 2, b = -3, c = -2. D = (-3)² - 4 2 (-2) = 9 + 16 = 25.
Так как D > 0, у нас есть два корня уравнения. Теперь найдем сами корни по формуле x = (-b ± √D) / 2a. t1 = (3 + √25) / 4 = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2, t2 = (3 - √25) / 4 = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -0.5.
Так как sinx = t, то получаем два решения: 1) sinx = 2, что невозможно, так как значение синуса не может превышать 1; 2) sinx = -0.5.
Далее, найдем все углы, для которых синус равен -0.5. Обычно это углы, находящиеся во II и III четвертях, а также в точке симметрии плоскости относительно начала координат. В II и III четвертях sinx < 0, поэтому рассмотрим угол 7π/6. Таким образом, решением уравнения 2sin²x - 3sinx - 2 = 0 будет угол x = 7π/6.
Чтобы решить уравнение (2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0), сначала сделаем замену переменной. Обозначим (y = \sin x). Тогда уравнение становится:
[2y^2 - 3y - 2 = 0.]
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) для уравнения (ay^2 + by + c = 0) вычисляется по формуле:
[D = b^2 - 4ac.]
В нашем случае (a = 2), (b = -3), (c = -2). Подставим эти значения:
[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.]
Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня, которые находятся по формуле:
[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.]
Подставим наши значения:
[y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2,] [y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}.]
Теперь вернемся к исходной переменной (x). Мы обозначили (y = \sin x), следовательно, нам нужно решить уравнения:
Первое уравнение (\sin x = 2) не имеет решений, так как синус принимает значения только в интервале ([-1, 1]).
Второе уравнение (\sin x = -\frac{1}{2}) имеет решения. Синус равен (-\frac{1}{2}) в точках, соответствующих углам:
[x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n,]
где (n) — любое целое число.
Таким образом, общее решение уравнения:
[x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n,]
где (n) — любое целое число.
Для решения уравнения 2sin²x-3sinx-2=0 нужно представить его в виде квадратного уравнения относительно sinx и решить его.
