Решить уравнение 2 корня из х+3- корень из 2х+7=корень из х

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его и избавимся от корней. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(2√(x + 3) - √(2x + 7))^2 = √x^2

Раскроем скобки в левой части:

(2√(x + 3))^2 - 2 2√(x + 3) √(2x + 7) + (√(2x + 7))^2 = x

4(x + 3) - 4√(x + 3)√(2x + 7) + 2x + 7 = x

Упростим уравнение:

4x + 12 - 4√(x + 3)√(2x + 7) + 2x + 7 = x

6x + 19 - 4√(x + 3)√(2x + 7) = x

5x + 19 = 4√(x + 3)√(2x + 7)

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат еще раз:

(5x + 19)^2 = (4√(x + 3)√(2x + 7))^2

25x^2 + 190x + 361 = 16(x + 3)(2x + 7)

25x^2 + 190x + 361 = 32x^2 + 166x + 336

7x^2 - 24x + 25 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-24)^2 - 4 7 25 = 576 - 700 = -124

D < 0, значит у уравнения нет действительных корней.

Рассмотрим уравнение:

[ 2\sqrt{x + 3} - \sqrt{2x + 7} = \sqrt{x}. ]

Для решения этого уравнения сначала введем замену переменных, чтобы упростить выражения с корнями. Пусть ( u = \sqrt{x} ). Тогда ( x = u^2 ). Подставим это в исходное уравнение:

[ 2\sqrt{u^2 + 3} - \sqrt{2u^2 + 7} = u. ]

Теперь избавимся от корней поэтапно.

1. Перенесем (\sqrt{2u^2 + 7}) в правую часть уравнения:

[ 2\sqrt{u^2 + 3} = u + \sqrt{2u^2 + 7}. ]

1. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня на левой части:

[ 4(u^2 + 3) = (u + \sqrt{2u^2 + 7})^2. ]

1. Раскроем квадрат правой части:

[ 4(u^2 + 3) = u^2 + 2u\sqrt{2u^2 + 7} + (2u^2 + 7). ]

1. Упростим уравнение:

[ 4u^2 + 12 = 3u^2 + 2u\sqrt{2u^2 + 7} + 7. ]

1. Перенесем все кроме выражения с корнем в левую часть:

[ u^2 + 5 = 2u\sqrt{2u^2 + 7}. ]

1. Изолируем корень:

[ \frac{u^2 + 5}{2u} = \sqrt{2u^2 + 7}. ]

1. Возведем обе части в квадрат еще раз:

[ \left(\frac{u^2 + 5}{2u}\right)^2 = 2u^2 + 7. ]

1. Упростим:

[ \frac{(u^2 + 5)^2}{4u^2} = 2u^2 + 7. ]

1. Умножим на (4u^2) для избавления от дроби:

[ (u^2 + 5)^2 = 8u^4 + 28u^2. ]

1. Раскроем и упростим левую часть:

[ u^4 + 10u^2 + 25 = 8u^4 + 28u^2. ]

1. Перенесем все в одну часть:

[ u^4 + 10u^2 + 25 - 8u^4 - 28u^2 = 0. ]

1. Объединим подобные члены:

[ -7u^4 - 18u^2 + 25 = 0. ]

Появилось сложное уравнение четвертой степени. Однако мы можем искать решения другим методом, например, методом подбора или графически.

Для упрощения, вернемся к оригинальному уравнению и попробуем подставить несколько значений (x), чтобы найти возможные решения:

Если (x = 1):

[ 2\sqrt{1 + 3} - \sqrt{2\cdot1 + 7} = \sqrt{1}, ] [ 2\cdot2 - \sqrt{9} = 1, ] [ 4 - 3 = 1, ] что верно.

Таким образом, (x = 1) является решением уравнения.

Проверка других значений может быть не столь успешной, и для данного типа уравнений численное решение может быть наиболее подходящим методом для поиска всех возможных решений. Вышеописанный процесс показывает один из возможных подходов к решению таких уравнений.