Решить систему уравнений x^{2} - y^{2} =9; xy=20

Для решения системы уравнений: [ \begin{cases} x^2 - y^2 = 9 \ xy = 20 \end{cases} ] мы можем использовать несколько методов. Один из них - метод подстановки и использование свойств квадратных уравнений. Начнем с того, что выразим одно из переменных через другую из второго уравнения.

1. Выразим ( y ) через ( x ) из второго уравнения: [ y = \frac{20}{x} ]

2. Подставим это выражение в первое уравнение: [ x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 9 ]

3. Преобразуем уравнение: [ x^2 - \frac{400}{x^2} = 9 ]

4. Умножим обе стороны уравнения на ( x^2 ), чтобы избавиться от знаменателя: [ x^4 - 400 = 9x^2 ]

5. Перенесем все члены уравнения на одну сторону: [ x^4 - 9x^2 - 400 = 0 ]

6. Обозначим ( z = x^2 ). Тогда уравнение примет вид: [ z^2 - 9z - 400 = 0 ]

7. Решим это квадратное уравнение относительно ( z ) используя дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 81 + 1600 = 1681 ]

8. Найдем корни уравнения: [ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{1681}}{2} = \frac{9 \pm 41}{2} ]

Таким образом, получаем два корня: [ z_1 = \frac{50}{2} = 25 ] [ z_2 = \frac{-32}{2} = -16 ]

Так как ( z = x^2 ), то ( z ) должно быть неотрицательным. Поэтому ( z = -16 ) не подходит. Остается: [ x^2 = 25 ]

1. Найдем ( x ): [ x = \pm \sqrt{25} = \pm 5 ]

2. Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого ( x ): Для ( x = 5 ): [ y = \frac{20}{5} = 4 ]

Для ( x = -5 ): [ y = \frac{20}{-5} = -4 ]

1. Проверим оба решения в системе уравнений: Для ( (x, y) = (5, 4) ): [ x^2 - y^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 ] [ xy = 5 \cdot 4 = 20 ]

Для ( (x, y) = (-5, -4) ): [ x^2 - y^2 = (-5)^2 - (-4)^2 = 25 - 16 = 9 ] [ xy = (-5) \cdot (-4) = 20 ]

Обе пары удовлетворяют системе уравнений.

Итак, решения системы: [ (x, y) = (5, 4) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-5, -4) ]

x = 5, y = 4; x = -5, y = -4.

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки.

Из уравнения xy=20 найдем значение одной из переменных, например, найдем y: y = 20/x

Подставим это значение в первое уравнение: x^2 - (20/x)^2 = 9 x^2 - 400/x^2 = 9 Умножим обе части уравнения на x^2: x^4 - 400 = 9x^2 x^4 - 9x^2 - 400 = 0

Получившееся уравнение является квадратным относительно переменной x. Решив его, найдем два значения переменной x. Подставив их обратно в уравнение xy=20, найдем соответствующие значения переменной y.

Итак, решив уравнение x^4 - 9x^2 - 400 = 0, найденные корни подставим обратно в уравнение xy=20, чтобы найти значения переменных x и y.