Решить систему Х^2У2^-ХУ=12 { Х+У=2

Х = 3, У = -1

Чтобы решить данную систему уравнений, мы начнем с анализа и решения второго уравнения, так как оно проще:

1. Второе уравнение:
   ( x + y = 2 )

   Из этого уравнения можем выразить одну переменную через другую. Например, выразим ( y ) через ( x ):

   [ y = 2 - x ]

2. Первое уравнение:
   ( x^2 \cdot y^{2} - xy = 12 )

   Подставим выражение для ( y ) из второго уравнения в первое:

   [ x^2 \cdot (2-x)^2 - x(2-x) = 12 ]

   Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

   [ (2-x)^2 = 4 - 4x + x^2 ]

   Подставим это в уравнение:

   [ x^2 \cdot (4 - 4x + x^2) - x(2-x) = 12 ]

   Раскроем скобки:

   [ 4x^2 - 4x^3 + x^4 - 2x + x^2 = 12 ]

   Объединим похожие члены:

   [ x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x = 12 ]

   Приведем уравнение к стандартной форме:

   [ x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 12 = 0 ]

3. Решение уравнения четвертой степени.

   Это уравнение можно решить разными методами, такими как разложение на множители или метод проб.

   Давайте попробуем метод проб, подставляя возможные значения ( x ) и ( y ) из уравнения ( x + y = 2 ).

   Попробуем ( x = 3 ), тогда ( y = 2 - 3 = -1 ):

   [ x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 12 = 3^4 - 4 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 - 12 ]

   [ = 81 - 108 + 45 - 6 - 12 = 0 ]

   Похоже, ( x = 3 ) и ( y = -1 ) является решением.

Таким образом, одно из решений системы уравнений: ( x = 3 ), ( y = -1 ).

Проверяем:

1. ( x + y = 3 - 1 = 2 )
2. ( x^2 \cdot y^2 - xy = 3^2 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) = 9 + 3 = 12 )

Оба уравнения выполняются, значит, решение верное.

Для решения данной системы уравнений используем метод подстановки. Из второго уравнения получаем значение одной из переменных: Х = 2 - У

Подставляем это значение в первое уравнение: (2 - У)^2 У^2 - (2 - У) У = 12 (4 - 4У + У^2) * У^2 - 2У + У^2 = 12 4У^4 - 4У^3 + У^4 - 2У + У^2 = 12 5У^4 - 4У^3 + У^2 - 2У = 12 5У^4 - 4У^3 + У^2 - 2У - 12 = 0

Данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно переменной У. Решим его с помощью дискриминанта: D = (-4)^2 - 4 5 (1 (-2) - (12)) D = 16 + 20 14 D = 16 + 80 D = 96

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их: У1 = (4 + √96) / 10 У1 = (4 + 4√6) / 10 У1 = (2 + 2√6) / 5

У2 = (4 - √96) / 10 У2 = (4 - 4√6) / 10 У2 = (2 - 2√6) / 5

Теперь найдем соответствующие значения Х, подставив найденные значения У в уравнение Х = 2 - У: Х1 = 2 - (2 + 2√6) / 5 Х1 = 10 / 5 - (2 + 2√6) / 5 Х1 = (10 - 2 - 2√6) / 5 Х1 = (8 - 2√6) / 5

Х2 = 2 - (2 - 2√6) / 5 Х2 = 10 / 5 - (2 - 2√6) / 5 Х2 = (10 - 2 + 2√6) / 5 Х2 = (8 + 2√6) / 5

Таким образом, получаем два решения системы уравнений: Х1 = (8 - 2√6) / 5, У1 = (2 + 2√6) / 5 Х2 = (8 + 2√6) / 5, У2 = (2 - 2√6) / 5