Решить систему графическим способом: 3х+5у=4 { 2х-у=7

Для решения системы графическим способом нужно построить графики обеих уравнений и найти точку их пересечения, которая будет являться решением системы.

Для решения данной системы уравнений графическим способом мы должны представить каждое уравнение в виде прямой на координатной плоскости и найти их точку пересечения, которая и будет решением системы.

1) Первое уравнение: 3x + 5y = 4 Перепишем его в виде y = (-3/5)x + 4/5. Теперь можем построить график этой прямой.

2) Второе уравнение: 2x - y = 7 Перепишем его в виде y = 2x - 7 и построим график.

Ищем точку пересечения этих двух прямых на графике - это и будет решение системы уравнений.

Для решения системы уравнений графическим способом необходимо построить графики каждой из двух прямых, заданных уравнениями, и найти точку их пересечения. Давайте подробно разберем этот процесс:

1. Преобразование уравнений в удобный для построения вид

Для удобства построения графиков приведем каждое уравнение к виду ( y = mx + b ), где ( m ) — угловой коэффициент, а ( b ) — точка пересечения с осью ( y ).

Уравнение 1: ( 3x + 5y = 4 )

Преобразуем уравнение:

[ 5y = -3x + 4 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5} ]

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом (-\frac{3}{5}) и точкой пересечения с осью ( y ) в (\frac{4}{5}).

Уравнение 2: ( 2x - y = 7 )

Преобразуем уравнение:

[ -y = -2x + 7 \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 7 ]

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом (2) и точкой пересечения с осью ( y ) в (-7).

2. Построение графиков

Теперь построим графики обеих прямых на координатной плоскости.

• Первая прямая: ( y = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{5} )

  • Точка пересечения с осью ( y ): ((0, \frac{4}{5}))

  • Для построения воспользуемся еще одной точкой. Подставим, например, ( x = 5 ):

    [ y = -\frac{3}{5} \cdot 5 + \frac{4}{5} = -3 + \frac{4}{5} = -\frac{11}{5} ]

  Получаем точку ((5, -\frac{11}{5})).

• Вторая прямая: ( y = 2x - 7 )

  • Точка пересечения с осью ( y ): ((0, -7))

  • Для построения воспользуемся еще одной точкой. Например, подставим ( x = 4 ):

    [ y = 2 \cdot 4 - 7 = 8 - 7 = 1 ]

  Получаем точку ((4, 1)).

3. Нахождение точки пересечения

Теперь мы имеем две прямые и можем определить точку их пересечения на графике. Однако можно также решить систему уравнений алгебраически для проверки.

Решим систему методом подстановки или сложения:

Из второго уравнения выразим ( y ):

[ y = 2x - 7 ]

Подставим это выражение в первое уравнение:

[ 3x + 5(2x - 7) = 4 \quad \Rightarrow \quad 3x + 10x - 35 = 4 \quad \Rightarrow \quad 13x = 39 \quad \Rightarrow \quad x = 3 ]

Теперь найдем ( y ), подставив ( x = 3 ) во второе уравнение:

[ y = 2 \times 3 - 7 = 6 - 7 = -1 ]

Таким образом, точка пересечения графиков, а значит и решение системы уравнений — это точка ((3, -1)).

Заключение

Точка ((3, -1)) является решением системы уравнений, так как именно в этой точке пересекаются графики обеих прямых.