Решить неравенство: $x-2$² < √3$x-2$

Для решения неравенства $(x-2$^2 < \sqrt{3}$x-2$), сначала упростим его.

Введем замену: $t=x-2$. Тогда неравенство принимает вид:

$t^2<\sqrt{3}t$

Рассмотрим два случая: $t=0$ и $t\ne 0$.

1. Случай $t=0$: Если $t=0$, то $x-2=0$, следовательно, $x=2$.

2. Случай $t\ne 0$: Если $t\ne 0$, то мы можем обе части неравенства разделить на $t$:

   $t^2<\sqrt{3}t⟹t<\sqrt{3}$

   Переписываем неравенство:

   $t^2-\sqrt{3}t<0$

   Разложим это выражение на множители:

   $t(t-\sqrt{3})<0$

   Теперь анализируем знаки произведения $t(t-\sqrt{3}$):

   • Произведение $t(t-\sqrt{3}$) будет меньше нуля, если один из множителей положительный, а другой отрицательный.
   • Значит, $t$ должно быть в интервале от 0 до $\sqrt{3}$:

   $0<t<\sqrt{3}$

   Поскольку мы ввели замену $t=x-2$, то это неравенство можно переписать в терминах $x$:

   $0<x-2<\sqrt{3}$

   Решаем это двойное неравенство:

   $2<x<2+\sqrt{3}$

Итак, объединяя оба случая, мы получаем:

Ответ: $x\in (2,2+\sqrt{3}$).

Для решения данного неравенства $x-2$² < √3$x-2$ необходимо привести его к виду, где все члены будут находиться на одной стороне неравенства. Для этого раскроем квадрат слева:

$x-2$² < √3$x-2$

x² - 4x + 4 < √3x - 2√3

После этого приведем все члены неравенства к одной стороне:

x² - 4x + 4 - √3x + 2√3 < 0

x² - $4+\surd 3$x + 4 + 2√3 < 0

После этого необходимо найти корни квадратного уравнения x² - $4+\surd 3$x + 4 + 2√3 = 0 и определить интервалы, в которых неравенство будет выполняться.