Решить неравенство: х^2-4х-5больше или равно 0

Необходимо найти корни уравнения х^2-4х-5=0, затем найти интервалы, на которых неравенство будет выполнено.

Чтобы решить неравенство (x^2 - 4x - 5 \geq 0), сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения (x^2 - 4x - 5 = 0).

Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В данном случае коэффициенты равны: (a = 1), (b = -4), (c = -5).

Подставим их в формулу:

[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} ]

[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} ]

[ x = \frac{4 \pm 6}{2} ]

Таким образом, получаем два корня:

[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 ] [ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 ]

Теперь у нас есть корни (x = 5) и (x = -1). Эти корни делят числовую прямую на три промежутка: ((-\infty, -1)), ([-1, 5]), и ((5, +\infty)).

Определим знак выражения (x^2 - 4x - 5) на каждом из этих промежутков, выбрав тестовые точки:

1. Для промежутка ((-\infty, -1)), выберем точку (x = -2): [ (-2)^2 - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0 ]

2. Для промежутка ((-1, 5)), выберем точку (x = 0): [ 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5 < 0 ]

3. Для промежутка ((5, +\infty)), выберем точку (x = 6): [ 6^2 - 4 \cdot 6 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0 ]

Таким образом, неравенство (x^2 - 4x - 5 \geq 0) выполняется на промежутках ((-\infty, -1]) и ([5, +\infty)).

Ответ: (x \in (-\infty, -1] \cup [5, +\infty)).

Для решения данного неравенства необходимо найти корни уравнения х^2 - 4х - 5 = 0. Для этого можно воспользоваться методом квадратного корня или формулой дискриминанта.

Дискриминант D = (-4)^2 - 41(-5) = 16 + 20 = 36. Так как D > 0, то уравнение имеет два корня: х1 = (4 + √36) / 2 = (4 + 6) / 2 = 5 х2 = (4 - √36) / 2 = (4 - 6) / 2 = -1

Теперь составим интервалы, в которых неравенство будет выполняться. Для этого проведем знаковый анализ функции х^2 - 4х - 5 на интервалах (-∞, -1), (-1, 5) и (5, +∞). Подставляем произвольное значение из каждого интервала в уравнение и определяем знак: Для интервала (-∞, -1) у нас получается: (-1)^2 - 4(-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0, что означает, что на этом интервале неравенство не выполняется. Для интервала (-1, 5) у нас получается: 2^2 - 42 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9, что означает, что неравенство выполняется на этом интервале. Для интервала (5, +∞) у нас получается: 5^2 - 4*5 - 5 = 25 - 20 - 5 = 0, что означает, что неравенство не выполняется на данном интервале.

Таким образом, решением неравенства х^2 - 4х - 5 ≥ 0 является интервал (-1, 5] или же можно записать результат в виде: -1 ≤ х ≤ 5.