Решить неравенство (3х-5)²≥(5х-3)²

Рассмотрим неравенство ((3x - 5)^2 \geq (5x - 3)^2). Решим его поэтапно.

1. Устранение квадратов

Чтобы убрать квадраты, воспользуемся следующим свойством: (a^2 \geq b^2 \iff a - b \geq 0 \, \text{или} \, a + b \geq 0). Это эквивалентно разложению разности квадратов: [ a^2 - b^2 \geq 0 \iff (a - b)(a + b) \geq 0. ]

Применим это к нашему неравенству: [ (3x - 5)^2 - (5x - 3)^2 \geq 0. ]

2. Разложение разности квадратов

Разность квадратов раскладывается по формуле: [ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). ]

В нашем случае: [ (3x - 5)^2 - (5x - 3)^2 = \big((3x - 5) - (5x - 3)\big) \cdot \big((3x - 5) + (5x - 3)\big). ]

Упростим каждую скобку отдельно:

1. ((3x - 5) - (5x - 3) = 3x - 5 - 5x + 3 = -2x - 2 = -2(x + 1)),
2. ((3x - 5) + (5x - 3) = 3x - 5 + 5x - 3 = 8x - 8 = 8(x - 1)).

Подставим эти выражения в разложение: [ (3x - 5)^2 - (5x - 3)^2 = \big(-2(x + 1)\big) \cdot \big(8(x - 1)\big). ]

Таким образом, неравенство принимает вид: [ -2(x + 1) \cdot 8(x - 1) \geq 0. ]

3. Упрощение выражения

Упростим коэффициенты: [ -2 \cdot 8 = -16, ] поэтому неравенство становится: [ -16(x + 1)(x - 1) \geq 0. ]

Домножим обе стороны на (-1), чтобы избавиться от отрицательного коэффициента перед произведением. При умножении на отрицательное число знак неравенства поменяется: [ 16(x + 1)(x - 1) \leq 0. ]

4. Решение неравенства методом интервалов

Рассмотрим произведение (16(x + 1)(x - 1) \leq 0). Здесь важны нули выражений (x + 1) и (x - 1), то есть: [ x + 1 = 0 \implies x = -1, \quad x - 1 = 0 \implies x = 1. ]

Эти точки делят числовую прямую на три интервала:

1. (x \in (-\infty, -1)),
2. (x \in (-1, 1)),
3. (x \in (1, +\infty)).

Знаки выражения (16(x + 1)(x - 1)) на каждом из этих интервалов определяются знаком множителей ((x + 1)) и ((x - 1)). Построим таблицу знаков:

Нас интересует, где произведение (\leq 0). Это выполняется на участке, где произведение отрицательно или равно нулю: [ x \in [-1, 1]. ]

5. Ответ

Решение неравенства: [ x \in [-1, 1]. ]

Чтобы решить неравенство ((3x - 5)^2 \geq (5x - 3)^2), сначала раскроем квадрат:

[ (3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25, ] [ (5x - 3)^2 = 25x^2 - 30x + 9. ]

Теперь подставим это в неравенство:

[ 9x^2 - 30x + 25 \geq 25x^2 - 30x + 9. ]

Переносим все на одну сторону:

[ 9x^2 - 30x + 25 - 25x^2 + 30x - 9 \geq 0, ]

что упрощается до:

[ -16x^2 + 16 \geq 0, ]

или

[ 16x^2 - 16 \leq 0. ]

Делим на 16:

[ x^2 - 1 \leq 0. ]

Это неравенство можно переписать как:

[ (x - 1)(x + 1) \leq 0. ]

Теперь находим нули: (x = -1) и (x = 1). Определяем знаки на интервалах:

1. (x < -1): знак положительный.
2. (-1 < x < 1): знак отрицательный.
3. (x > 1): знак положительный.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале ([-1, 1]).

Ответ: (x \in [-1, 1]).

Для решения неравенства ((3x - 5)^2 \geq (5x - 3)^2) начнем с разложения квадратов.

1. Раскроем обе стороны неравенства: [ (3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25, ] [ (5x - 3)^2 = 25x^2 - 30x + 9. ]

2. Подставим эти выражения в неравенство: [ 9x^2 - 30x + 25 \geq 25x^2 - 30x + 9. ]

3. Переносим все члены на одну сторону: [ 9x^2 - 30x + 25 - 25x^2 + 30x - 9 \geq 0. ]

4. Упростим: [ -16x^2 + 16 \geq 0. ]

5. Умножим неравенство на (-1) (не забудьте поменять знак): [ 16x^2 - 16 \leq 0. ]

6. Вынесем общий множитель: [ 16(x^2 - 1) \leq 0. ]

7. Делим на 16 (знак неравенства остается прежним, так как 16 > 0): [ x^2 - 1 \leq 0. ]

8. Это неравенство можно переписать в виде: [ (x - 1)(x + 1) \leq 0. ]

9. Найдем нули функции (f(x) = (x - 1)(x + 1)): [ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1, ] [ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1. ]

10. Теперь определим интервалы для тестирования знаков функции:

    • Интервал ((- \infty, -1))
    • Интервал ((-1, 1))
    • Интервал ((1, + \infty))

11. Проверим знаки функции на каждом из интервалов:

    • Для (x < -1) (например, (x = -2)): [ f(-2) = (-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = 3 \quad (> 0). ]
    • Для (-1 < x < 1) (например, (x = 0)): [ f(0) = (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1 \quad (< 0). ]
    • Для (x > 1) (например, (x = 2)): [ f(2) = (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3 \quad (> 0). ]

12. Теперь определим, где функция меньше или равна нулю:

    • Функция (f(x)) меньше или равна нулю на интервале ([-1, 1]).

13. Не забудем включить точки, в которых функция равна нулю (т.е. (x = -1) и (x = 1)):

    • Находим окончательное решение: [ x \in [-1, 1]. ]

Таким образом, решение неравенства ((3x - 5)^2 \geq (5x - 3)^2) — это интервал (x \in [-1, 1]).