Решить неравенство: 2x^2+5x-3>0

Для того чтобы решить данное квадратное неравенство, нужно сперва найти корни квадратного уравнения, соответствующего данному неравенству: 2x^2 + 5x - 3 = 0.

Для нахождения корней используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = 5, c = -3. D = 5^2 - 42(-3) = 25 + 24 = 49.

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня: x1 = (-b + √D) / 2a и x2 = (-b - √D) / 2a. x1 = (-5 + √49) / 4 = ( -5 + 7) / 4 = 1/2. x2 = (-5 - √49) / 4 = ( -5 - 7) / 4 = -3.

Теперь проведем анализ неравенства на интервалах между найденными корнями и вне их.

1. Проведем анализ на интервале (-бесконечность; -3): 2(-3)^2 + 5(-3) - 3 = 12 - 15 - 3 = -6, что меньше 0.

2. Проведем анализ на интервале (-3; 1/2): 2(1/2)^2 + 5(1/2) - 3 = 1/2 + 5/2 - 3 = 3 - 3 = 0, что равно 0.

3. Проведем анализ на интервале (1/2; +бесконечность): 2(1/2)^2 + 5(1/2) - 3 = 1/2 + 5/2 - 3 = 3 - 3 = 0, что больше 0.

Таким образом, неравенство 2x^2 + 5x - 3 > 0 выполняется на интервалах (-бесконечность; -3) и (1/2; +бесконечность).

Для решения неравенства (2x^2 + 5x - 3 > 0) нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти корни соответствующего квадратного уравнения:
   Сначала решим уравнение (2x^2 + 5x - 3 = 0). Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

   [ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} ]

   где (a = 2), (b = 5), (c = -3).

   Сначала вычислим дискриминант (D):

   [ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 ]

   Так как дискриминант положительный, у уравнения будут два различных вещественных корня:

   [ x_1 = \frac{{-5 + \sqrt{49}}}{4} = \frac{{-5 + 7}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ]

   [ x_2 = \frac{{-5 - \sqrt{49}}}{4} = \frac{{-5 - 7}}{4} = \frac{-12}{4} = -3 ]

2. Найти интервалы, на которых выражение положительно:
   Корни (x_1 = \frac{1}{2}) и (x_2 = -3) делят числовую ось на три интервала: ((- \infty, -3)), ((-3, \frac{1}{2})) и ((\frac{1}{2}, +\infty)).

   Теперь исследуем знак выражения (2x^2 + 5x - 3) на каждом из этих интервалов:

   • Для интервала ((- \infty, -3)), выберем тестовую точку, например, (x = -4): [ 2(-4)^2 + 5(-4) - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 > 0 ] Следовательно, на этом интервале выражение положительно.

   • Для интервала ((-3, \frac{1}{2})), выберем тестовую точку, например, (x = 0): [ 2(0)^2 + 5(0) - 3 = -3 < 0 ] Следовательно, на этом интервале выражение отрицательно.

   • Для интервала ((\frac{1}{2}, +\infty)), выберем тестовую точку, например, (x = 1): [ 2(1)^2 + 5(1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 > 0 ] Следовательно, на этом интервале выражение положительно.

3. Записать решение неравенства:
   Поскольку нас интересуют только те значения (x), для которых (2x^2 + 5x - 3 > 0), решением неравенства будет объединение интервалов, где выражение положительно:

   [ x \in (-\infty, -3) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right) ]

Таким образом, решение неравенства (2x^2 + 5x - 3 > 0) — это объединение интервалов ((- \infty, -3)) и ((\frac{1}{2}, +\infty)).