Решить неравенство 2х^2+3х-9>0

Для решения данного неравенства необходимо найти корни квадратного уравнения 2x^2 + 3x - 9 = 0, которые являются точками пересечения графика функции с осью х. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = 3, c = -9.

D = 3^2 - 42(-9) = 9 + 72 = 81

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных вещественных корня, которые можно найти по формуле: x = (-b ± √D) / 2a.

x1 = (-3 + √81) / 4 = ( -3 + 9 ) / 4 = 6 / 4 = 1.5 x2 = (-3 - √81) / 4 = ( -3 - 9 ) / 4 = -12 / 4 = -3

Теперь построим знаки функции f(x) = 2x^2 + 3x - 9 на интервалах (-бесконечность; -3), (-3; 1.5) и (1.5; +бесконечность). Для этого можно взять произвольную точку внутри каждого интервала и подставить ее в исходное неравенство для определения знака функции.

Например, для интервала (-бесконечность; -3) возьмем x = -4: f(-4) = 2(-4)^2 + 3(-4) - 9 = 32 - 12 - 9 = 11 Таким образом в этом интервале функция положительна.

Для интервала (-3; 1.5) возьмем x = 0: f(0) = 20^2 + 30 - 9 = -9 Функция отрицательна в этом интервале.

Для интервала (1.5; +бесконечность) возьмем x = 2: f(2) = 22^2 + 32 - 9 = 8 + 6 - 9 = 5 Функция положительна в данном интервале.

Исходя из знаков функции на каждом интервале, можно сделать вывод о решении исходного неравенства 2x^2 + 3x - 9 > 0. Получаем, что решением неравенства является объединение интервалов (-бесконечность; -3) и (1.5; +бесконечность).

Сначала нужно найти корни уравнения 2x^2 + 3x - 9 = 0, а затем определить знак выражения в каждом из интервалов, образованных корнями.

Чтобы решить неравенство (2x^2 + 3x - 9 > 0), необходимо следовать стандартному алгоритму решения квадратных неравенств. Давайте рассмотрим этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Найти корни соответствующего квадратного уравнения

Сначала решим уравнение (2x^2 + 3x - 9 = 0) для нахождения корней. Используем формулу корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где (a = 2), (b = 3), и (c = -9).

1. Вычислим дискриминант (D):

[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 ]

1. Поскольку дискриминант (D = 81) является положительным, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их:

[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{4} = \frac{-3 + 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} ]

[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{4} = \frac{-3 - 9}{4} = \frac{-12}{4} = -3 ]

Шаг 2: Определить интервалы

Корни (x_1 = \frac{3}{2}) и (x_2 = -3) делят числовую ось на три интервала:

1. ((- \infty, -3))
2. ((-3, \frac{3}{2}))
3. ((\frac{3}{2}, +\infty))

Шаг 3: Проверить знаки на интервалах

Для определения знака квадратного трёхчлена на каждом из интервалов, выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение (2x^2 + 3x - 9):

• На интервале ((- \infty, -3)), возьмем (x = -4):

  [ 2(-4)^2 + 3(-4) - 9 = 32 - 12 - 9 = 11 > 0 ]

• На интервале ((-3, \frac{3}{2})), возьмем (x = 0):

  [ 2(0)^2 + 3(0) - 9 = -9 < 0 ]

• На интервале ((\frac{3}{2}, +\infty)), возьмем (x = 2):

  [ 2(2)^2 + 3(2) - 9 = 8 + 6 - 9 = 5 > 0 ]

Шаг 4: Записать решение неравенства

Неравенство (2x^2 + 3x - 9 > 0) выполняется на интервалах, где выражение положительно. Таким образом, решение неравенства:

[ x \in (-\infty, -3) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right) ]

Это означает, что для всех (x) в этих интервалах неравенство будет верным.