Решить иррациональное уравнение: корень из x+1=1-x

Для решения данного иррационального уравнения нужно избавиться от корней. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

√(x + 1) = 1 - x (x + 1) = (1 - x)^2 x + 1 = 1 - 2x + x^2 x + 1 = 1 - 2x + x^2 x + 1 = 1 - 2x + x^2 0 = x^2 - 3x

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

x^2 - 3x = 0 x(x - 3) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 0 x = 3

Проверим оба корня подставив их в исходное уравнение:

При x = 0: √(0 + 1) = 1 - 0 √1 = 1 1 = 1 (верно)

При x = 3: √(3 + 1) = 1 - 3 √4 = -2 2 ≠ -2 (неверно)

Таким образом, решением иррационального уравнения √(x + 1) = 1 - x является x = 0.

Для решения иррационального уравнения (\sqrt{x + 1} = 1 - x), следуем следующим шагам:

1. Определение области определения: Поскольку у нас есть квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это приводит к следующему неравенству: [ x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1 ]

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат: Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат: [ (\sqrt{x + 1})^2 = (1 - x)^2 ] Это преобразуется в: [ x + 1 = (1 - x)^2 ]

3. Раскрытие квадратов и упрощение: Раскроем квадрат в правой части: [ x + 1 = 1 - 2x + x^2 ] Теперь приведем все к одному виду, переместив все члены на одну сторону уравнения: [ x + 1 - 1 + 2x - x^2 = 0 ] Упрощаем уравнение: [ x^2 - 3x = 0 ]

4. Решение получившегося квадратного уравнения: Вынесем (x) за скобки: [ x(x - 3) = 0 ] Это уравнение имеет два корня: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 ]

5. Проверка найденных корней с учетом области определения: Нам нужно проверить, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению и области определения (x \geq -1).

   • Подставим (x = 0) в исходное уравнение: [ \sqrt{0 + 1} = 1 - 0 \implies \sqrt{1} = 1 \implies 1 = 1 \quad \text{(верно)} ]

   • Подставим (x = 3) в исходное уравнение: [ \sqrt{3 + 1} = 1 - 3 \implies \sqrt{4} = -2 \implies 2 = -2 \quad \text{(неверно)} ]

   Таким образом, (x = 3) не подходит, поскольку приводит к неверному равенству.

6. Вывод: Единственный корень уравнения, который удовлетворяет и исходному уравнению, и области определения — это (x = 0).

Итак, окончательный ответ: [ x = 0 ]