Ребят, помогите, пожалуйста, не могу понять, sin^4+cos^4, чем это равно?

sin^4 + cos^4 = 1 - 2sin^2cos^2

Для того чтобы выразить sin^4$x$ + cos^4$x$ в другом виде, воспользуемся формулами приведения для sin^2$x$ и cos^2$x$:

sin^2$x$ = $1-cos(2x$)/2 cos^2$x$ = $1+cos(2x$)/2

Теперь подставим эти выражения в наше уравнение:

sin^4$x$ + cos^4$x$ = $si{n}^2(x$)^2 + $co{s}^2(x$)^2 = $(1-cos(2x$)/2)^2 + $(1+cos(2x$)/2)^2 = $1-2cos(2x$ + cos^2$2x$)/4 + $1+2cos(2x$ + cos^2$2x$)/4 = $2+2co{s}^2(2x$)/4 = $1+co{s}^2(2x$)/2 = $1+co{s}^2(2x$)/2

Таким образом, sin^4$x$ + cos^4$x$ равно $1+co{s}^2(2x$)/2.

Конечно, давай разберем этот вопрос более подробно.

Выражение ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$ можно упростить. Для этого воспользуемся известным тригонометрическим тождеством ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ и попробуем выразить наше выражение через другие тригонометрические функции.

Начнем с преобразования ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x{)}^2+({\cos }^{2}x{)}^2$

Теперь введем обозначение $a={\sin }^{2}x$ и $b={\cos }^{2}x$. Тогда наше выражение примет вид: $a^2+b^2$

Мы знаем, что $a+b={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Это важное тождество, которое мы будем использовать.

Теперь вспомним квадрат суммы: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Поскольку $a+b=1$, то: $1^2=a^2+2ab+b^2$ $1=a^2+2ab+b^2$

Нам нужно выразить $a^2+b^2$, поэтому из этого равенства можем выразить $a^2+b^2$: $a^2+b^2=1-2ab$

Теперь вернемся к нашим обозначениям: $a={\sin }^{2}x$ $b={\cos }^{2}x$

Таким образом: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2({\sin }^{2}x{\cos }^{2}x)$

Теперь вспомним, что ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ можно выразить через известную формулу: ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x={(\frac{1}{2}\sin 2x)}^2=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x$

Тогда: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2\cdot \frac{1}{4}{\sin }^{2}2x$ ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

Таким образом, итоговое выражение для ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$ выглядит следующим образом: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

Надеюсь, это поможет тебе лучше понять, как преобразуется данное выражение.