Ребят, помогите, пожалуйста, не могу понять, sin^4+cos^4, чем это равно?

sin^4 + cos^4 = 1 - 2sin^2cos^2

Для того чтобы выразить sin^4(x) + cos^4(x) в другом виде, воспользуемся формулами приведения для sin^2(x) и cos^2(x):

sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2

Теперь подставим эти выражения в наше уравнение:

sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(x))^2 + (cos^2(x))^2 = ((1 - cos(2x))/2)^2 + ((1 + cos(2x))/2)^2 = (1 - 2cos(2x) + cos^2(2x))/4 + (1 + 2cos(2x) + cos^2(2x))/4 = (2 + 2cos^2(2x))/4 = (1 + cos^2(2x))/2 = (1 + cos^2(2x))/2

Таким образом, sin^4(x) + cos^4(x) равно (1 + cos^2(2x))/2.

Конечно, давай разберем этот вопрос более подробно.

Выражение ( \sin^4 x + \cos^4 x ) можно упростить. Для этого воспользуемся известным тригонометрическим тождеством ( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ) и попробуем выразить наше выражение через другие тригонометрические функции.

Начнем с преобразования ( \sin^4 x + \cos^4 x ): [ \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 ]

Теперь введем обозначение ( a = \sin^2 x ) и ( b = \cos^2 x ). Тогда наше выражение примет вид: [ a^2 + b^2 ]

Мы знаем, что ( a + b = \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ). Это важное тождество, которое мы будем использовать.

Теперь вспомним квадрат суммы: [ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ]

Поскольку ( a + b = 1 ), то: [ 1^2 = a^2 + 2ab + b^2 ] [ 1 = a^2 + 2ab + b^2 ]

Нам нужно выразить ( a^2 + b^2 ), поэтому из этого равенства можем выразить ( a^2 + b^2 ): [ a^2 + b^2 = 1 - 2ab ]

Теперь вернемся к нашим обозначениям: [ a = \sin^2 x ] [ b = \cos^2 x ]

Таким образом: [ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2(\sin^2 x \cos^2 x) ]

Теперь вспомним, что ( \sin^2 x \cos^2 x ) можно выразить через известную формулу: [ \sin^2 x \cos^2 x = \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x ]

Тогда: [ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x ] [ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x ]

Таким образом, итоговое выражение для ( \sin^4 x + \cos^4 x ) выглядит следующим образом: [ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x ]

Надеюсь, это поможет тебе лучше понять, как преобразуется данное выражение.