Ребяят, помогите решить 1) Найдите координаты и длину вектора a если a = 1/3b - c, b{3;-9}, c{-6;2}...

1) Для нахождения координат вектора a, нужно подставить значения векторов b и c в формулу a = 1/3b - c: a = 1/3 b - c a = 1/3 (3; -9) - (-6; 2) a = (1; -3) - (-6; 2) a = (1 + 6; -3 - 2) a = (7; -5)

Длина вектора a вычисляется по формуле |a| = √(a₁² + a₂²): |a| = √(7² + (-5)²) |a| = √(49 + 25) |a| = √74

Таким образом, координаты вектора a равны (7; -5), а его длина равна √74.

2) Чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, необходимо убедиться, что диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны и равны между собой. Для этого найдем координаты точки пересечения диагоналей О.

Координаты точки пересечения диагоналей О находятся как среднее арифметическое координат вершин A и C: О = ((-6 + 6)/2; (1 - 4)/2) О = (0; -3/2)

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей О равны (0; -3/2), что делает ABCD прямоугольником.

1) Координаты вектора a = (-3; 1), длина вектора a = sqrt((-3)^2 + 1^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10).

2) Для доказательства того, что ABCD - прямоугольник, можно показать, что векторы AB и AD перпендикулярны (их скалярное произведение равно 0) и равны по модулю. Точка пересечения диагоналей О будет серединой отрезка, соединяющего вершины A и C, т.е. О(0; -1.5).

Чтобы решить задачи, давайте разберем их по порядку.

Задача 1

Найти координаты и длину вектора ( \mathbf{a} ), если (\mathbf{a} = \frac{1}{3}\mathbf{b} - \mathbf{c}), где (\mathbf{b} = {3; -9}) и (\mathbf{c} = {-6; 2}).

1. Найдем координаты вектора ( \mathbf{a} ):

   Сначала найдем (\frac{1}{3}\mathbf{b}):

   [ \frac{1}{3}\mathbf{b} = \left{\frac{1}{3} \times 3; \frac{1}{3} \times (-9)\right} = {1; -3} ]

   Теперь найдем (\mathbf{a}):

   [ \mathbf{a} = {1; -3} - {-6; 2} = {1 + 6; -3 - 2} = {7; -5} ]

2. Найдем длину вектора ( \mathbf{a} ):

   Длина вектора (\mathbf{a} = {7; -5}) находится по формуле:

   [ |\mathbf{a}| = \sqrt{7^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74} ]

   Таким образом, координаты вектора (\mathbf{a}) — ({7; -5}), а его длина — (\sqrt{74}).

Задача 2

Даны координаты вершин параллелограмма (ABCD): (A(-6; 1)), (B(0; 5)), (C(6; -4)), (D(0; -8)). Докажем, что это прямоугольник и найдем координаты точки пересечения его диагоналей (O).

1. Проверим, что (ABCD) — прямоугольник:

   Для этого необходимо показать, что соседние стороны перпендикулярны, то есть скалярное произведение их векторов равно нулю.

   Найдем векторы сторон:

   [ \mathbf{AB} = {0 + 6; 5 - 1} = {6; 4} ] [ \mathbf{BC} = {6 - 0; -4 - 5} = {6; -9} ] [ \mathbf{CD} = {0 - 6; -8 + 4} = {-6; -4} ] [ \mathbf{DA} = {-6 - 0; 1 + 8} = {-6; 9} ]

   Теперь проверим перпендикулярность:

   [ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{BC} = 6 \times 6 + 4 \times (-9) = 36 - 36 = 0 ]

   [ \mathbf{BC} \cdot \mathbf{CD} = 6 \times (-6) + (-9) \times (-4) = -36 + 36 = 0 ]

   [ \mathbf{CD} \cdot \mathbf{DA} = (-6) \times (-6) + (-4) \times 9 = 36 - 36 = 0 ]

   [ \mathbf{DA} \cdot \mathbf{AB} = (-6) \times 6 + 9 \times 4 = -36 + 36 = 0 ]

   Все скалярные произведения равны нулю, следовательно, это прямоугольник.

2. Найдем координаты точки пересечения диагоналей:

   В прямоугольнике диагонали пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам.

   Найдем середины диагоналей (AC) и (BD):

   [ \text{Середина }\mathbf{AC} = \left(\frac{-6 + 6}{2}; \frac{1 - 4}{2}\right) = (0; -1.5) ]

   [ \text{Середина }\mathbf{BD} = \left(\frac{0 + 0}{2}; \frac{5 - 8}{2}\right) = (0; -1.5) ]

   Поскольку середины совпадают, то точка пересечения диагоналей (O) имеет координаты ((0; -1.5)).

Таким образом, параллелограмм (ABCD) — это прямоугольник, а его диагонали пересекаются в точке (O(0; -1.5)).