Разрешите уравнение Cos2x+5sinX+2=0

Для решения уравнения ( \cos(2x) + 5\sin(x) + 2 = 0 ) воспользуемся тригонометрическими тождествами и методами алгебры.

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество

Тригонометрическое тождество для косинуса двойного угла выражается как: [ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) ] Подставим это в уравнение: [ 1 - 2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 = 0 ]

Шаг 2: Приведем к квадратному уравнению

Объединим все в одно уравнение: [ -2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 3 = 0 ] Домножим уравнение на (-1) для удобства: [ 2\sin^2(x) - 5\sin(x) - 3 = 0 ]

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Обозначим ( y = \sin(x) ). Тогда уравнение принимает вид: [ 2y^2 - 5y - 3 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ): [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 2 ), ( b = -5 ), ( c = -3 ). Подставим эти значения: [ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} ] [ y = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} ] [ y = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} ] [ y = \frac{5 \pm 7}{4} ]

Получаем два решения для ( y ):

1. ( y_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3 )
2. ( y_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2} )

Шаг 4: Проверяем допустимость значений

Так как ( y = \sin(x) ), то допустимые значения ( y ) находятся в интервале ([-1, 1]). Следовательно, ( y_1 = 3 ) не подходит, так как выходит за пределы этого интервала.

Шаг 5: Решаем для допустимых значений

Для ( y_2 = -\frac{1}{2} ), решаем уравнение ( \sin(x) = -\frac{1}{2} ).

Синус равен (-\frac{1}{2}) в точках: [ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n ] где ( n ) — целое число.

Итог

Решение уравнения ( \cos(2x) + 5\sin(x) + 2 = 0 ) имеет вид: [ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Для решения уравнения Cos(2x) + 5sin(x) + 2 = 0 используется тригонометрическая подстановка и методы решения уравнений.

Для решения данного уравнения необходимо воспользоваться заменой:

cos2x = 1 - 2sin^2x

Подставляем замену в исходное уравнение:

1 - 2sin^2x + 5sinx + 2 = 0

Упрощаем выражение:

-2sin^2x + 5sinx + 3 = 0

Заменяем sinx = t:

-2t^2 + 5t + 3 = 0

Далее решаем квадратное уравнение относительно t:

D = 5^2 - 4(-2)3 = 25 + 24 = 49

t1,2 = ( -5 ± √49 ) / (2*(-2))

t1 = ( -5 + 7 ) / -4 = 1/2

t2 = ( -5 - 7 ) / -4 = 3

Теперь возвращаемся к исходному уравнению и находим sinx:

sinx = 1/2 или sinx = 3

Таким образом, уравнение cos2x + 5sinx + 2 = 0 имеет два решения: 1) x = π/6 + 2πn, где n - целое число 2) x = arcsin(3) + 2πn, где n - целое число