Разложите на множители многочлен x+y-x³-y³

Чтобы разложить многочлен ( x + y - x^3 - y^3 ) на множители, сначала рассмотрим его структуру. Мы имеем два слагаемых первого порядка ( x + y ) и два слагаемых третьего порядка ( -x^3 - y^3 ).

Заметим, что многочлен можно переписать в виде разности двух выражений:

[ x + y - x^3 - y^3 = (x + y) - (x^3 + y^3). ]

Теперь применим формулу разности кубов. Формула для разности кубов выглядит так:

[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). ]

Однако, чтобы применить эту формулу в нашем случае, нужно заметить, что ( a = x ) и ( b = y ), следовательно:

[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2). ]

Подставим это в наш многочлен:

[ x + y - (x^3 + y^3) = x + y - (x + y)(x^2 - xy + y^2). ]

Теперь вынесем общий множитель ( x + y ) за скобки:

[ = (x + y)(1 - (x^2 - xy + y^2)). ]

Раскроем скобки во втором множителе:

[ 1 - (x^2 - xy + y^2) = 1 - x^2 + xy - y^2. ]

Таким образом, окончательное разложение многочлена на множители будет:

[ x + y - x^3 - y^3 = (x + y)(1 - x^2 + xy - y^2). ]

Это разложение показывает структуру многочлена через выделение общего множителя и использование формулы разности кубов.

Для того чтобы разложить многочлен x+y-x³-y³ на множители, сначала выделим общий множитель: x + y - x³ - y³ = (x - x³) + (y - y³) = x(1 - x²) + y(1 - y²)

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов: x(1 - x²) + y(1 - y²) = x(1 - x)(1 + x) + y(1 - y)(1 + y) = x(1 - x)(1 + x) - y(y - 1)(y + 1)

Таким образом, многочлен x+y-x³-y³ разлагается на множители следующим образом: x(1 - x)(1 + x) - y(y - 1)(y + 1)