Разложите на множители многочлен .а)3х в квадрате игрек -3уz в квадрате . б)3а(а+1)+(а в квадрате -1)....

Задание 1. Разложение многочленов на множители:

а) ( 3x^2y - 3yz^2 )

1. Вынесем общий множитель за скобки: [ 3x^2y - 3yz^2 = 3y(x^2 - z^2) ]

2. Заметим, что выражение ( x^2 - z^2 ) — это разность квадратов, которая раскладывается по формуле: [ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ]

3. Применим эту формулу: [ 3y(x^2 - z^2) = 3y(x - z)(x + z) ]

Ответ: ( 3y(x - z)(x + z) )

б) ( 3a(a+1) + (a^2 - 1) )

1. Раскроем скобки: [ 3a(a + 1) = 3a^2 + 3a ] Таким образом, исходный многочлен примет вид: [ 3a^2 + 3a + a^2 - 1 ]

2. Приведем подобные члены: [ (3a^2 + a^2) + 3a - 1 = 4a^2 + 3a - 1 ]

3. Разложим многочлен ( 4a^2 + 3a - 1 ) методом группировки.

   Найдем два числа, произведение которых равно ( 4 \cdot (-1) = -4 ), а сумма равна ( 3 ). Это числа ( 4 ) и ( -1 ).

   Разобьем средний член ( 3a ) на два слагаемых: [ 4a^2 + 4a - a - 1 ]

4. Сгруппируем члены и вынесем общий множитель из каждой группы: [ (4a^2 + 4a) - (a + 1) = 4a(a + 1) - 1(a + 1) ]

5. Вынесем общий множитель ( (a + 1) ): [ 4a^2 + 3a - 1 = (4a - 1)(a + 1) ]

Ответ: ( (4a - 1)(a + 1) )

в) ( x + y - x^3y - x^4 )

1. Сгруппируем члены: [ (x + y) - (x^3y + x^4) ]

2. В первой группе общий множитель отсутствует, а во второй группе можно вынести ( x^3 ): [ x + y - x^3(y + x) ]

3. Вынесем общий множитель ( (x + y) ): [ (x + y)(1 - x^3) ]

4. Заметим, что ( 1 - x^3 ) — это разность кубов, которая раскладывается по формуле: [ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) ]

   При ( a = 1 ), ( b = x ): [ 1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2) ]

5. Подставим это в выражение: [ (x + y)(1 - x^3) = (x + y)(1 - x)(1 + x + x^2) ]

Ответ: ( (x + y)(1 - x)(1 + x + x^2) )

Задание 2. Решите уравнение:

[ (x - 2)(x - 3) - x(x + 4) + 7 = x + 5 ]

1. Раскроем скобки: [ (x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 ] [ -x(x + 4) = -x^2 - 4x ]

   Подставим это в уравнение: [ x^2 - 5x + 6 - x^2 - 4x + 7 = x + 5 ]

2. Приведем подобные члены: [ x^2 - x^2 - 5x - 4x + 6 + 7 = x + 5 ] [ -9x + 13 = x + 5 ]

3. Переносим все члены в одну сторону: [ -9x - x + 13 - 5 = 0 ] [ -10x + 8 = 0 ]

4. Решим уравнение: [ -10x = -8 ] [ x = \frac{-8}{-10} = \frac{4}{5} ]

Ответ: ( x = \frac{4}{5} )

Давайте разложим на множители многочлены, указанные в заданиях.

Задание 1: Разложение на множители

а) ( 3x^2y - 3uz^2 )

1. В данном многочлене можно выделить общий множитель: [ 3(x^2y - uz^2) ]
2. Теперь рассмотрим выражение ( x^2y - uz^2 ). Это разность двух слагаемых, которая не имеет дополнительных общих множителей, и её разложить на множители нельзя. Таким образом: [ 3(x^2y - uz^2) ]

б) ( 3a(a+1) + (a^2 - 1) )

1. Сначала упростим выражение. Заметим, что ( a^2 - 1 ) можно записать как разность квадратов: [ a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) ]
2. Теперь перепишем всё выражение: [ 3a(a+1) + (a - 1)(a + 1) ]
3. Теперь раскроем скобки в первом слагаемом: [ 3a^2 + 3a + a^2 - 1 = 4a^2 + 3a - 1 ]

4. Далее попробуем разложить ( 4a^2 + 3a - 1 ) на множители. Для этого ищем такие ( m ) и ( n ), что:

   • ( m \cdot n = 4 \cdot (-1) = -4 )
   • ( m + n = 3 )

   Подходящими числами являются ( 4 ) и ( -1 ). Пишем: [ 4a^2 + 4a - a - 1 = 4a(a + 1) - 1(a + 1) = (4a - 1)(a + 1) ]

в) ( x + y - x^3y - x^4 )

1. Сначала можно переставить слагаемые: [ x + y - x^3y - x^4 = x - x^4 - x^3y + y ]
2. Выделим общий множитель ( x ) из первых двух слагаемых и затем ( y ) из последних: [ x(1 - x^3) + y(1 - x^3) = (1 - x^3)(x + y) ]

Таким образом, ответ для пункта в: [ (1 - x^3)(x + y) ]

Задание 2: Решите уравнение

[ (x - 2)(x - 3) - x(x + 4) + 7 = x + 5 ]

1. Раскроем скобки: [ (x^2 - 5x + 6) - (x^2 + 4x) + 7 = x + 5 ]
2. Упростим левую часть: [ x^2 - 5x + 6 - x^2 - 4x + 7 = x + 5 ] [ -9x + 13 = x + 5 ]
3. Переносим все слагаемые на одну сторону: [ -9x - x + 13 - 5 = 0 ] [ -10x + 8 = 0 ]
4. Решим уравнение: [ -10x = -8 \implies x = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} ]

Таким образом, решение уравнения: [ x = \frac{4}{5} ]