Разложите на множители: 16a^3+54b^3

Чтобы разложить на множители выражение ( 16a^3 + 54b^3 ), мы можем воспользоваться формулой суммы кубов. Сначала заметим, что оба слагаемых в выражении являются кубами:

• ( 16a^3 = (2a)^3 )
• ( 54b^3 = (3b)^3 )

Таким образом, мы можем переписать выражение в виде:

[ (2a)^3 + (3b)^3 ]

Формула для разложения суммы кубов имеет вид:

[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) ]

В нашем случае ( x = 2a ) и ( y = 3b ). Подставим эти значения в формулу:

1. Сначала находим сумму ( x + y ): [ x + y = 2a + 3b ]

2. Теперь находим ( x^2 ): [ x^2 = (2a)^2 = 4a^2 ]

3. Находим произведение ( xy ): [ xy = (2a)(3b) = 6ab ]

4. Находим ( y^2 ): [ y^2 = (3b)^2 = 9b^2 ]

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу для разложения:

[ 16a^3 + 54b^3 = (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) ]

Таким образом, разложение на множители выражения ( 16a^3 + 54b^3 ) будет:

[ (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) ]

Это окончательный ответ.

Для разложения выражения ( 16a^3 + 54b^3 ) на множители, сначала определим, что это сумма кубов. В общем виде сумма кубов записывается как:

[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) ]

Здесь ( 16a^3 + 54b^3 ) можно переписать в виде суммы кубов. Заметим, что:

[ 16a^3 = (2a)^3 \quad \text{и} \quad 54b^3 = (3b)^3 ]

Таким образом, выражение ( 16a^3 + 54b^3 ) можно представить как:

[ 16a^3 + 54b^3 = (2a)^3 + (3b)^3 ]

Теперь применим формулу для суммы кубов:

[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) ]

Здесь ( x = 2a ) и ( y = 3b ). Подставляем:

[ (2a)^3 + (3b)^3 = (2a + 3b)((2a)^2 - (2a)(3b) + (3b)^2) ]

Вычислим каждое слагаемое внутри второй скобки:

1. ( (2a)^2 = 4a^2 )
2. ( (2a)(3b) = 6ab )
3. ( (3b)^2 = 9b^2 )

Таким образом, вторая скобка становится:

[ (2a)^2 - (2a)(3b) + (3b)^2 = 4a^2 - 6ab + 9b^2 ]

Теперь подставляем всё обратно:

[ 16a^3 + 54b^3 = (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) ]

Итак, окончательное разложение на множители:

[ 16a^3 + 54b^3 = (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) ]

Проверка

Чтобы убедиться в правильности разложения, раскроем скобки:

[ (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) = (2a)(4a^2 - 6ab + 9b^2) + (3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) ]

Раскрываем каждое произведение:

1. ( (2a)(4a^2 - 6ab + 9b^2) = 8a^3 - 12a^2b + 18ab^2 )
2. ( (3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) = 12a^2b - 18ab^2 + 27b^3 )

Складываем всё вместе:

[ 8a^3 - 12a^2b + 18ab^2 + 12a^2b - 18ab^2 + 27b^3 = 8a^3 + 27b^3 ]

Здесь видно, что результат совпадает с исходным выражением ( 16a^3 + 54b^3 ), так что разложение выполнено верно.