Разложить на множители: 1) -3а^4-12а^3-12а^2=? 2) а+5в+а^2-25в^2=? Срочно!

Давайте разложим данные выражения на множители.

1) (-3a^4 - 12a^3 - 12a^2)

Шаг 1: Вынесем общий множитель. Во всех членах выражения есть общий множитель (-3a^2). Вынесем его за скобки:

[ -3a^4 - 12a^3 - 12a^2 = -3a^2(a^2 + 4a + 4) ]

Шаг 2: Разложим квадрат. Теперь нам нужно разложить квадратный трехчлен (a^2 + 4a + 4). Мы можем заметить, что это полный квадрат:

[ a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2 ]

Шаг 3: Запишем окончательный ответ. Теперь подставим обратно в выражение:

[ -3a^4 - 12a^3 - 12a^2 = -3a^2(a + 2)^2 ]

Ответ:

(-3a^4 - 12a^3 - 12a^2 = -3a^2(a + 2)^2)

2) (a + 5b + a^2 - 25b^2)

Шаг 1: Перепишем выражение. Сначала упорядочим члены:

[ a^2 + a + 5b - 25b^2 ]

Шаг 2: Группировка. Теперь сгруппируем члены. Обратите внимание, что (5b - 25b^2) можно выделить общий множитель 5:

[ a^2 + a + 5(b - 5b^2) ]

Но это не очень удобно. Лучше объединить (a) и (a^2) с (b):

[ a^2 + a + 5b - 25b^2 = a^2 + a + 5(b - 5b^2) ]

Давайте попытаемся выделить полный квадрат для (a^2 + a):

[ a^2 + a = a^2 + a + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \left(a + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} ]

Теперь заменим это в выражение:

[ \left(a + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 5b - 25b^2 ]

Шаг 3: Попробуем разложить. Теперь попробуем разложить выражение (a^2 + a + 5b - 25b^2) по-другому:

[ a^2 + a + (5b - 25b^2) = a^2 + a + 5b(1 - 5b) ]

Шаг 4: Объединяем в одно выражение. Сложим все вместе:

[ a^2 + a + 5b(1 - 5b) = a^2 + a + 5b(1 - 5b) ]

Теперь можем разложить:

[ = (a + 5b)(a - 5b + 1) ]

Ответ:

(a + 5b + a^2 - 25b^2 = (a + 5b)(a - 5b + 1))

Таким образом, мы разложили оба выражения на множители.

Конечно, давайте разберем подробно оба примера.

1. (-3a^4 - 12a^3 - 12a^2)

Чтобы разложить это выражение на множители, мы используем метод вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим, что общего у всех трёх слагаемых:

• Во всех трёх слагаемых есть множитель (-3).
• Во всех трёх слагаемых присутствует переменная (a). Степень (a) в каждом слагаемом — (a^4, a^3, a^2). Значит, общий множитель по переменной — это (a^2), так как это наименьшая степень.

Теперь вынесем общий множитель (-3a^2) за скобки:

[ -3a^4 - 12a^3 - 12a^2 = -3a^2(a^2 + 4a + 4) ]

Осталось упростить выражение в скобках: (a^2 + 4a + 4). Это квадратный трёхчлен, который можно разложить на множители (по формуле квадрата суммы):

[ a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2 ]

Подставим это обратно:

[ -3a^4 - 12a^3 - 12a^2 = -3a^2(a + 2)^2 ]

Ответ:

[ -3a^2(a + 2)^2 ]

2. (a + 5b + a^2 - 25b^2)

Здесь комбинируются разные типы выражений. Сначала приведём слагаемые в удобный порядок, чтобы было проще работать:

[ a^2 - 25b^2 + a + 5b ]

Шаг 1: Разложим часть (a^2 - 25b^2)

Эта часть является разностью квадратов, так как (a^2) — это квадрат (a), а (25b^2) — это квадрат (5b). Разность квадратов раскладывается по формуле:

[ a^2 - 25b^2 = (a - 5b)(a + 5b) ]

Шаг 2: Упростим оставшиеся слагаемые

Теперь у нас есть выражение:

[ (a - 5b)(a + 5b) + a + 5b ]

Здесь удобно сгруппировать части: заметим, что (a + 5b) встречается дважды — как множитель и как слагаемое. Вынесем (a + 5b) за скобки:

[ (a - 5b)(a + 5b) + a + 5b = (a + 5b)((a - 5b) + 1) ]

Шаг 3: Упростим выражение в скобках

Внутри второй скобки упрощаем:

[ (a - 5b) + 1 = a - 5b + 1 ]

Подставляем обратно:

[ (a + 5b)(a - 5b + 1) ]

Ответ:

[ (a + 5b)(a - 5b + 1) ]

Итак, итоговые ответы:

1. (-3a^2(a + 2)^2)
2. ((a + 5b)(a - 5b + 1))

1) -3а^2(а^2 + 4а + 4) = -3а^2(а + 2)².

2) (а + 5в)(а - 5в).