Пусть x1 и x2 корни квадратного уравнения x2-7x-1=0 . Составьте квадратное ур корнями которого являются...

Для того чтобы найти квадратное уравнение, корнями которого являются числа 5x1 и 5x2, мы можем воспользоваться методом подстановки. Поскольку x1 и x2 являются корнями уравнения x^2 - 7x - 1 = 0, то мы можем записать это уравнение в виде (x - x1)(x - x2) = 0.

Теперь подставим вместо x1 и x2 числа 5x1 и 5x2:

(x - 5x1)(x - 5x2) = 0 x^2 - 5x(x1 + x2) + 5^2x1x2 = 0

Поскольку x1 и x2 являются корнями исходного уравнения, то x1 + x2 = 7 и x1x2 = -1. Тогда мы можем подставить эти значения и получить:

x^2 - 5x(7) + 5^2(-1) = 0 x^2 - 35x + 25 = 0

Таким образом, квадратным уравнением, корнями которого являются числа 5x1 и 5x2, является x^2 - 35x + 25 = 0.

Квадратное уравнение с корнями 5x1 и 5x2: x^2 - 70x - 25 = 0.

Давайте начнем с квадратного уравнения (x^2 - 7x - 1 = 0) и найдем его корни (x_1) и (x_2).

Для этого воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0): [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

В нашем уравнении (a = 1), (b = -7) и (c = -1). Подставляем эти значения в формулу: [ x{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} ] [ x{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 4}}{2} ] [ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{53}}{2} ]

Таким образом, корни данного уравнения: [ x_1 = \frac{7 + \sqrt{53}}{2} ] [ x_2 = \frac{7 - \sqrt{53}}{2} ]

Теперь нужно составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа (5x_1) и (5x_2). Давайте обозначим эти новые корни как (y_1 = 5x_1) и (y_2 = 5x_2).

Сумма новых корней будет: [ y_1 + y_2 = 5x_1 + 5x_2 = 5(x_1 + x_2) ]

Произведение новых корней будет: [ y_1 \cdot y_2 = (5x_1) \cdot (5x_2) = 25(x_1 \cdot x_2) ]

Для исходного уравнения (x^2 - 7x - 1 = 0) сумма корней (x_1) и (x_2) равна коэффициенту при (x) с противоположным знаком (по теореме Виета): [ x_1 + x_2 = 7 ]

Произведение корней равно свободному члену с противоположным знаком: [ x_1 \cdot x_2 = -1 ]

Теперь подставляем эти значения в выражения для суммы и произведения новых корней: [ y_1 + y_2 = 5 \cdot 7 = 35 ] [ y_1 \cdot y_2 = 25 \cdot (-1) = -25 ]

Теперь можем составить новое квадратное уравнение с корнями (y_1) и (y_2). Это будет уравнение вида: [ y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 \cdot y_2 = 0 ]

Подставляем найденные значения: [ y^2 - 35y - 25 = 0 ]

Таким образом, квадратное уравнение, корнями которого являются числа (5x_1) и (5x_2), выглядит следующим образом: [ y^2 - 35y - 25 = 0 ]