Производная 2x*корень из x?

Чтобы найти производную функции ( f(x) = 2x \sqrt{x} ), сначала упростим выражение. Мы можем записать ( \sqrt{x} ) как ( x^{1/2} ). Тогда функция становится:

[ f(x) = 2x \cdot x^{1/2} = 2x^{1 + 1/2} = 2x^{3/2} ]

Теперь мы можем воспользоваться правилом дифференцирования степенной функции. Производная функции ( x^n ) равна ( nx^{n-1} ). В нашем случае:

[ f'(x) = 2 \cdot \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} = 3x^{1/2} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = 2x \sqrt{x} ) равна:

[ f'(x) = 3\sqrt{x} ]

Теперь рассмотрим шаги более подробно:

1. Упрощение функции: Мы переписали ( \sqrt{x} ) в степени, что упрощает дальнейшие вычисления.
2. Применение правила производной: Мы использовали правило для степени ( x^n ), что позволяет легко находить производные.
3. Запись результата: Мы представили производную в виде ( 3\sqrt{x} ), что также дает нам возможность легко интерпретировать её.

Таким образом, мы получили, что производная функции ( 2x \sqrt{x} ) равна ( 3\sqrt{x} ).

Для нахождения производной функции ( f(x) = 2x \sqrt{x} ) воспользуемся правилом произведения и правилом дифференцирования корня.

Сначала выразим ( \sqrt{x} ) как ( x^{1/2} ), тогда ( f(x) = 2x \cdot x^{1/2} = 2x^{3/2} ).

Теперь найдем производную:

[ f'(x) = 2 \cdot \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} = 3x^{1/2} = 3\sqrt{x}. ]

Таким образом, производная ( f'(x) = 3\sqrt{x} ).

Для нахождения производной функции ( y = 2x\sqrt{x} ), давайте разберем её более подробно.

Шаг 1. Упростим выражение

Функция ( y = 2x\sqrt{x} ) включает в себя корень, который можно переписать в виде степени. Напомним, что (\sqrt{x} = x^{1/2}). Тогда:

[ y = 2x\sqrt{x} = 2x \cdot x^{1/2}. ]

При умножении степеней с одинаковым основанием складываются их показатели. Поэтому:

[ y = 2x^{1 + 1/2} = 2x^{3/2}. ]

Теперь наша функция имеет вид ( y = 2x^{3/2} ).

Шаг 2. Найдём производную

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции: если ( f(x) = x^n ), то ( f'(x) = n \cdot x^{n-1} ).

Применим это правило к ( y = 2x^{3/2} ). Константа (в данном случае 2) остаётся неизменной, поэтому:

[ y' = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{3/2 - 1}. ]

Шаг 3. Упростим результат

Сократим ( 2 \cdot \frac{3}{2} ):

[ y' = 3 \cdot x^{3/2 - 1}. ]

Вычтем показатели степеней: ( 3/2 - 1 = 1/2 ). Тогда:

[ y' = 3x^{1/2}. ]

Перепишем результат через корень, так как ( x^{1/2} = \sqrt{x} ):

[ y' = 3\sqrt{x}. ]

Итог

Производная функции ( y = 2x\sqrt{x} ) равна:

[ y' = 3\sqrt{x}. ]