Привести уравнение кривой второго порядка x^2 + 4y^2 + 4x - 8y - 8 = 0 к каноническому виду. Определить...

Чтобы привести уравнение ( x^2 + 4y^2 + 4x - 8y - 8 = 0 ) к каноническому виду, сначала сгруппируем и упростим его.

1. Перепишем уравнение: [ x^2 + 4x + 4y^2 - 8y - 8 = 0 ]

2. Завершим квадрат для ( x ) и ( y ):

   • Для ( x ): [ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 ]
   • Для ( y ): [ 4y^2 - 8y = 4(y^2 - 2y) = 4((y - 1)^2 - 1) = 4(y - 1)^2 - 4 ]

3. Подставим обратно в уравнение: [ (x + 2)^2 - 4 + 4(y - 1)^2 - 4 - 8 = 0 ] Упрощаем: [ (x + 2)^2 + 4(y - 1)^2 - 16 = 0 ] [ (x + 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 16 ]

4. Делим на 16: [ \frac{(x + 2)^2}{16} + \frac{(y - 1)^2}{4} = 1 ]

Теперь у нас есть уравнение в канонической форме эллипса: [ \frac{(x + 2)^2}{4^2} + \frac{(y - 1)^2}{2^2} = 1 ]

Определение типа кривой и параметры:

• Тип кривой: эллипс.
• Центр эллипса: ( (-2, 1) ).
• Полуоси:
  • Большая полуось ( a = 4 ).
  • Меньшая полуось ( b = 2 ).

Рисунок:

Рисунок эллипса с центром в точке ( (-2, 1) ), где большая полуось направлена вдоль оси ( x ), а меньшая - вдоль оси ( y ).

        y
        |
     3  |          ****
     2  |      ***      ***
     1  | ***            ***
        |------------------------ x
            -6  -5  -4  -3  -2
          -1 |                  |
          -2 |                  |

Эллипс будет примерно выглядеть так, размещённый в координатной системе.

Чтобы привести уравнение кривой второго порядка ( x^2 + 4y^2 + 4x - 8y - 8 = 0 ) к каноническому виду, начнем с упрощения его.

1. Перепишем уравнение:

   [ x^2 + 4x + 4y^2 - 8y - 8 = 0 ]

2. Сгруппируем термины:

   [ (x^2 + 4x) + (4y^2 - 8y) - 8 = 0 ]

3. Завершим квадрат для ( x ) и ( y ):

   Для ( x^2 + 4x ): [ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 ]

   Для ( 4y^2 - 8y ): [ 4(y^2 - 2y) = 4((y - 1)^2 - 1) = 4(y - 1)^2 - 4 ]

4. Подставим завершенные квадраты обратно в уравнение:

   [ ((x + 2)^2 - 4) + (4(y - 1)^2 - 4) - 8 = 0 ]

   Упрощаем:

   [ (x + 2)^2 + 4(y - 1)^2 - 4 - 4 - 8 = 0 ] [ (x + 2)^2 + 4(y - 1)^2 - 16 = 0 ] [ (x + 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 16 ]

5. Разделим обе стороны на 16:

   [ \frac{(x + 2)^2}{16} + \frac{(y - 1)^2}{4} = 1 ]

Теперь у нас есть уравнение в канонической форме:

[ \frac{(x + 2)^2}{16} + \frac{(y - 1)^2}{4} = 1 ]

Это уравнение эллипса.

Определение параметров:

1. Центр эллипса: [ (-2, 1) ]

2. Полуоси:

   • Полуось ( a = 4 ) (так как ( \sqrt{16} = 4 ))
   • Полуось ( b = 2 ) (так как ( \sqrt{4} = 2 ))

Тип кривой:

Кривая второго порядка, заданная уравнением, представляет собой эллипс.

Рисунок эллипса:

Для графического изображения эллипса:

• Центр находится в точке ( (-2, 1) ).
• Полуось по горизонтали равна ( 4 ), что означает, что эллипс будет простираться от ( -6 ) до ( 2 ) по оси ( x ).
• Полуось по вертикали равна ( 2 ), что означает, что эллипс будет простираться от ( -1 ) до ( 3 ) по оси ( y ).

На графике эллипс будет выглядеть следующим образом:

   y
   |
  3|       *-----*       
   |     *         *
  2|   *             *
   |  *               *
  1| *                 *
   |*                   *
  0| *                 *
   |  *               *
 -1|   *             *
   |     *         *
 -2|       *-----*
   +------------------ x
      -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Таким образом, мы привели уравнение к каноническому виду, определили тип кривой и её параметры.

Давайте разберём данное уравнение кривой второго порядка ( x^2 + 4y^2 + 4x - 8y - 8 = 0 ) и приведём его к каноническому виду. Мы также определим тип кривой и её параметры.

Шаг 1. Преобразование уравнения

Цель — привести уравнение к каноническому виду, где оно будет проще интерпретироваться. Для этого выделим полные квадраты по переменным (x) и (y).

Изначально имеем: [ x^2 + 4y^2 + 4x - 8y - 8 = 0. ]

Выделение полного квадрата по (x):

Группируем слагаемые с (x): [ x^2 + 4x. ] Выделяем полный квадрат: [ x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4. ]

Выделение полного квадрата по (y):

Группируем слагаемые с (y): [ 4y^2 - 8y. ] Вынесем (4) за скобки: [ 4(y^2 - 2y). ] Теперь выделим полный квадрат внутри скобки: [ y^2 - 2y = (y-1)^2 - 1. ] Подставляем обратно: [ 4(y^2 - 2y) = 4((y-1)^2 - 1) = 4(y-1)^2 - 4. ]

Подставляем всё в уравнение:

Теперь перепишем уравнение, используя выделенные полные квадраты: [ (x+2)^2 - 4 + 4(y-1)^2 - 4 - 8 = 0. ] Упростим: [ (x+2)^2 + 4(y-1)^2 - 16 = 0. ] Перенесём (16) вправо: [ (x+2)^2 + 4(y-1)^2 = 16. ]

Шаг 2. Канонический вид

Разделим обе части уравнения на (16), чтобы привести его к стандартному (каноническому) виду: [ \frac{(x+2)^2}{16} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1. ]

Это уравнение эллипса в каноническом виде: [ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1, ] где ((h, k)) — центр эллипса, (a^2) и (b^2) — квадраты больших и малых полуосей.

Шаг 3. Параметры эллипса

Сравнивая уравнение ( \frac{(x+2)^2}{16} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1 ) с каноническим видом, определяем параметры эллипса:

1. Центр эллипса: ((h, k) = (-2, 1)).
2. Большая полуось ((a)): (a^2 = 16 \implies a = 4).
3. Малая полуось ((b)): (b^2 = 4 \implies b = 2).
4. Фокальное расстояние ((c)): (c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}).
5. Фокусы эллипса: Фокусы лежат на главной оси (горизонтальной, так как (a^2 > b^2)). Координаты фокусов: [ F_1 = (h - c, k) = (-2 - 2\sqrt{3}, 1), \quad F_2 = (h + c, k) = (-2 + 2\sqrt{3}, 1). ]

Шаг 4. Тип кривой

Данная кривая — эллипс, так как в каноническом виде коэффициенты при ((x+2)^2) и ((y-1)^2) оба положительны, а уравнение имеет вид суммы двух квадратов, равной (1).

Шаг 5. Построение графика

Для построения эллипса:

1. Центр эллипса: ((-2, 1)).
2. Большая полуось: (a = 4), направлена вдоль оси (Ox). Следовательно, концы большой оси: ((-6, 1)) и ((2, 1)).
3. Малая полуось: (b = 2), направлена вдоль оси (Oy). Следовательно, концы малой оси: ((-2, -1)) и ((-2, 3)).
4. Фокусы: (F_1 = (-2 - 2\sqrt{3}, 1)) и (F_2 = (-2 + 2\sqrt{3}, 1)).

На графике:

• Нарисуйте эллипс с центром ((-2, 1)).
• Укажите его оси и фокусы.

Ответ

1. Каноническое уравнение: [ \frac{(x+2)^2}{16} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1. ]
2. Тип кривой: Эллипс.
3. Параметры эллипса:
   • Центр: ((-2, 1)),
   • Большая полуось ((a)): (4),
   • Малая полуось ((b)): (2),
   • Фокусы: (F_1 = (-2 - 2\sqrt{3}, 1)), (F_2 = (-2 + 2\sqrt{3}, 1)).
4. Рисунок: Эллипс с указанными параметрами.