При каком значении t точки А(3;8), B(9;t) и С(-5;0) лежат на одной прямой?

Для того чтобы точки ( A(3;8) ), ( B(9;t) ) и ( C(-5;0) ) лежали на одной прямой, их координаты должны удовлетворять уравнению линейной зависимости. Это означает, что векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ) должны быть коллинеарны. Коллинеарность векторов проверяется через равенство определителя матрицы, составленной из их координат, нулю.

1. Координаты векторов:

   • Вектор ( \overrightarrow{AB} ): [ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (9 - 3, t - 8) = (6, t - 8). ]
   • Вектор ( \overrightarrow{AC} ): [ \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-5 - 3, 0 - 8) = (-8, -8). ]

2. Условие коллинеарности: Векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ) коллинеарны, если их определитель равен нулю. Определитель для двух векторов на плоскости записывается как: [ \text{det} = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2. ] Для наших векторов: [ \text{det} = \begin{vmatrix} 6 & t - 8 \ -8 & -8 \end{vmatrix} = 6 \cdot (-8) - (-8) \cdot (t - 8). ]

3. Вычислим определитель: [ \text{det} = -48 - (-8)(t - 8). ] Раскроем скобки: [ \text{det} = -48 + 8(t - 8). ] Упростим: [ \text{det} = -48 + 8t - 64. ] [ \text{det} = 8t - 112. ]

4. Условие для коллинеарности: Определитель должен быть равен нулю: [ 8t - 112 = 0. ]

5. Решим уравнение: [ 8t = 112, ] [ t = \frac{112}{8} = 14. ]

6. Ответ: Точки ( A(3;8) ), ( B(9;t) ) и ( C(-5;0) ) лежат на одной прямой, если ( t = 14 ).

Чтобы определить, при каком значении ( t ) точки ( A(3, 8) ), ( B(9, t) ) и ( C(-5, 0) ) лежат на одной прямой, необходимо использовать условие коллинеарности точек. Точки коллинеарны, если площадь треугольника, образованного этими тремя точками, равна нулю.

Площадь треугольника, образованного тремя точками ( A(x_1, y_1) ), ( B(x_2, y_2) ) и ( C(x_3, y_3) ), можно вычислить по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ]

Подставим координаты точек ( A(3, 8) ), ( B(9, t) ) и ( C(-5, 0) ) в формулу:

[ S = \frac{1}{2} \left| 3(t - 0) + 9(0 - 8) + (-5)(8 - t) \right| ]

Упростим выражение:

[ S = \frac{1}{2} \left| 3t - 0 + 9(-8) - 5(8 - t) \right| ] [ = \frac{1}{2} \left| 3t - 72 - 40 + 5t \right| ] [ = \frac{1}{2} \left| 8t - 112 \right| ]

Для коллинеарности точек ( S ) должно быть равно нулю:

[ \frac{1}{2} \left| 8t - 112 \right| = 0 ]

Это равенство выполняется, когда выражение под модулем равно нулю:

[ 8t - 112 = 0 ]

Решим это уравнение:

[ 8t = 112 ] [ t = \frac{112}{8} = 14 ]

Таким образом, точки ( A(3, 8) ), ( B(9, t) ) и ( C(-5, 0) ) лежат на одной прямой при ( t = 14 ).

Чтобы точки A(3,8), B(9,t) и C(-5,0) лежали на одной прямой, необходимо, чтобы угловые коэффициенты отрезков AB и AC были равны.

Угловой коэффициент AB: [ k_{AB} = \frac{t - 8}{9 - 3} = \frac{t - 8}{6} ]

Угловой коэффициент AC: [ k_{AC} = \frac{0 - 8}{-5 - 3} = \frac{-8}{-8} = 1 ]

Равенство угловых коэффициентов: [ \frac{t - 8}{6} = 1 ]

Решаем уравнение: [ t - 8 = 6 ] [ t = 14 ]

Таким образом, точки A, B и C будут лежать на одной прямой при ( t = 14 ).