При каких значениях x выражение 6x в квадрате -x-12 (всё под корнем имеет смысл? плиз

Для того чтобы выражение 6x^2 - x - 12 (под корнем) имело смысл, необходимо, чтобы выражение под корнем было больше или равно нулю. То есть:

6x^2 - x - 12 >= 0

Для решения этого неравенства можно воспользоваться методом дискриминантов. Сначала найдем дискриминант квадратного трехчлена:

D = (-1)^2 - 46(-12) = 1 + 288 = 289

Дискриминант равен 289, что больше нуля. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Теперь найдем корни уравнения:

x1 = (-(-1) + sqrt(D)) / 2*6 = (1 + 17) / 12 = 18 / 12 = 3/2

x2 = (-(-1) - sqrt(D)) / 2*6 = (1 - 17) / 12 = -16 / 12 = -4/3

Итак, выражение 6x^2 - x - 12 под корнем имеет смысл при значениях x, принадлежащих отрезку [-4/3, 3/2].

Для того чтобы выражение (\sqrt{6x^2 - x - 12}) имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть (6x^2 - x - 12 \geq 0).

Рассмотрим квадратное неравенство (6x^2 - x - 12 \geq 0).

1. Найдем корни квадратного уравнения (6x^2 - x - 12 = 0):

   Для этого используем формулу для корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0): [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] В нашем случае (a = 6), (b = -1), (c = -12). Подставляем значения в формулу: [ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12)}}{2 \cdot 6} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{12} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{12} ] [ x = \frac{1 \pm 17}{12} ] Таким образом, получаем два корня: [ x_1 = \frac{1 + 17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} ] [ x_2 = \frac{1 - 17}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} ]

2. Выясним, при каких значениях (x) выражение (6x^2 - x - 12) неотрицательно:

   Квадратный трехчлен (6x^2 - x - 12) принимает нулевые значения при (x = \frac{3}{2}) и (x = -\frac{4}{3}). Определим знаки этого выражения на промежутках, на которые корни делят числовую ось:

   • (x < -\frac{4}{3})
   • (-\frac{4}{3} < x < \frac{3}{2})
   • (x > \frac{3}{2})

   Для определения знаков на этих промежутках воспользуемся методом интервалов. Вычислим значение выражения (6x^2 - x - 12) на каждом из промежутков:

   • Выберем точку на промежутке (x < -\frac{4}{3}), например (x = -2): [ 6(-2)^2 - (-2) - 12 = 6 \cdot 4 + 2 - 12 = 24 + 2 - 12 = 14 ] Значение положительное.
   • Выберем точку на промежутке (-\frac{4}{3} < x < \frac{3}{2}), например (x = 0): [ 6 \cdot 0^2 - 0 - 12 = -12 ] Значение отрицательное.
   • Выберем точку на промежутке (x > \frac{3}{2}), например (x = 2): [ 6 \cdot 2^2 - 2 - 12 = 6 \cdot 4 - 2 - 12 = 24 - 2 - 12 = 10 ] Значение положительное.

   Таким образом, (6x^2 - x - 12) неотрицательно при: [ x \in (-\infty, -\frac{4}{3}] \cup [\frac{3}{2}, \infty) ]

Следовательно, выражение (\sqrt{6x^2 - x - 12}) имеет смысл при (x \in (-\infty, -\frac{4}{3}] \cup [\frac{3}{2}, \infty)).